Cesenatico 6 -- 1991

[Zorro_93]

Salve... non so se questa sia la sezione giusta (ero indeciso tra algebra e teoria dei numeri) e quindi vi prego di spostare il topic se lo ritenete necessario.

Provo a dare una soluzione del 6° esercizio delle nazionali del 91, vi chiedo cosa ne pensiate perchè non ho trovato le soluzioni da nessuna parte.

Ogni numero positivo $ $x$ $ ha due figli: i numeri $ $x+1$ $ e $ $\frac{x}{x+1}$ $. Quali sono i discendenti del numero 1?

Cerco di dimostrare che tutti i numeri razionali positivi sono discendenti di 1.
Considero un generico numero razionale $ $\frac{m}{n}$ $ con $ $gdc(m,n)=1$ $ escludendo il caso banale di $ $m=n$ $ Allora i suoi possibili genitori sono:
$ $\frac{m}{n}-1=\frac{m-n}{n}$ $ e $ $\frac{m}{n-m}$ $, accettiamo il primo nel caso in cui sia $ $m>n$ $ e il secondo in cui sia $ $m<n$ $. Proseguendo così in questa ricerca dei genitori si nota che o il numeratore o il denominatore decrescono, quindi prima o poi si arriverà o a $ $0$ $, ma il caso di $ $0$ $ ci dice che stavamo cercando il genitore di una frazione con numeratore e denominatore uguali, cioè 1 e quindi ogni numero razionale positivo è discendente di 1.

Giusto?

[Tibor Gallai]

Sìsì.
Prendere gcd=1 è una finezza superflua, ma fa niente.
Inoltre manca la verifica banale che i numeri generati sono solo razionali positivi.
E poi c'è da capire se tra i discendenti si consideri anche l'1 stesso, perché altrimenti c'è da escluderlo.

[Zorro_93]

Sìsì.
Prendere gcd=1 è una finezza superflua, ma fa niente.
Inoltre manca la verifica banale che i numeri generati sono solo razionali positivi.
E poi c'è da capire se tra i discendenti si consideri anche l'1 stesso, perché altrimenti c'è da escluderlo.

Già, tra l'altro mi sono appena accorto di aver scritto che la ricerca terminava con 0, anche se non avevo scritto quale fosse il "genitore buono", considerando solo i casi m<n>n e non m=n, ma la sostanza non cambia.
Mi sono ricordato perchè avevo messo il gcd, era per un ragionamento sbagliato che avevo fatto prima.

Insomma... non avrei preso 7, ma era comunque un 6 e per uno che a Cesenatico non c'è mai stato è già ottimo.

[Gogo Livorno]

Salve... non so se questa sia la sezione giusta (ero indeciso tra algebra e teoria dei numeri) e quindi vi prego di spostare il topic se lo ritenete necessario.

Provo a dare una soluzione del 6° esercizio delle nazionali del 91, vi chiedo cosa ne pensiate perchè non ho trovato le soluzioni da nessuna parte.

Ogni numero positivo $ $x$ $ ha due figli: i numeri $ $x+1$ $ e $ $\frac{x}{x+1}$ $. Quali sono i discendenti del numero 1?

Cerco di dimostrare che tutti i numeri razionali positivi sono discendenti di 1.
Considero un generico numero razionale $ $\frac{m}{n}$ $ con $ $gdc(m,n)=1$ $ escludendo il caso banale di $ $m=n$ $ Allora i suoi possibili genitori sono:
$ $\frac{m}{n}-1=\frac{m-n}{n}$ $ e $ $\frac{m}{n-m}$ $, accettiamo il primo nel caso in cui sia $ $m>n$ $ e il secondo in cui sia $ $m<n$ $. Proseguendo così in questa ricerca dei genitori si nota che o il numeratore o il denominatore decrescono, quindi prima o poi si arriverà o a $ $0$ $, ma il caso di $ $0$ $ ci dice che stavamo cercando il genitore di una frazione con numeratore e denominatore uguali, cioè 1 e quindi ogni numero razionale positivo è discendente di 1.

Giusto?

Non basta dire che trattando il numeratore e il denominatore come due numeri ai quali applicare l'algoritmo di Euclide delle sottrazioni successive per il MCD (quello che in pratica stai iterando per trovare un genitore scegliendo di fare sempre il numero maggiore meno il minore), si arriverà prima o poi a due numeri uguali (che sono infatti il MCD di m e n) che quindi generano il numero 1?