Un commerciante di tè ha cinque barattoli di tè di forma cubica, e li dispone in fila sopra il bancone.
Ogni barattolo ha un'immagine su ognuno dei suoi sei lati, per cui ci sono trenta figure in totale; una delle immagini del N. 1 però si ripete sulla N. 4, e altredue figure della n. 4 si ripetono sulla N. 3; ci sono pertanto 27 figure differenti.
Il propietario colloca sempre la N. 1 a un estremo della fila, e fa in modo chela N. 3 e la N. 5 non siano mai affiancante.
In quanti modi diversi si possono disporre i barattoli sul bancone, in modo che l'ordine delle cinque figure sul davanti non fosse mai lo stesso?
Naturalmente, due figure simili possono essere in una fila, dal momento che è soltanto una questione di ordine.
I Cinque Barattoli di Tè
Diciamo che era un problema del tipo: "complicazione di idee di base" (niente di negativo con ciò!).
Step1: Calcolo i modi di ordinare i barattoli.
L'1 va in 2 modi. La coppia 3-5 va in 3 modi. 3 e 5 in 2 modi, scelta la loro posizione.
Il 2 e il 4 in 2! modi.
Dovrebbe essere dunque 24.
Step2: scelta la posizione, in quanti modi possono essere rivolti i 5 barattoli.
Il 2 e il 5 non hanno problemi: 6 modi ognuno.
Chiamiamo A l'immagine comune a 1 e 4. B e C siano quelle comuni a 4 e 3.
Caso1: 4 rivolge A,B o C.
Allora un barattolo fra 1 e 3 non ha problemi (6), mentre l'altro può mostrare solo 5 facce.
Caso2: altrimenti.
Nessun problema di averli uguali.
=>Risposta finale: $ \ 24\cdot 36\cdot (3\cdot 6\cdot 5+3\cdot 36)=\ldots 171072 $.
Step1: Calcolo i modi di ordinare i barattoli.
L'1 va in 2 modi. La coppia 3-5 va in 3 modi. 3 e 5 in 2 modi, scelta la loro posizione.
Il 2 e il 4 in 2! modi.
Dovrebbe essere dunque 24.
Step2: scelta la posizione, in quanti modi possono essere rivolti i 5 barattoli.
Il 2 e il 5 non hanno problemi: 6 modi ognuno.
Chiamiamo A l'immagine comune a 1 e 4. B e C siano quelle comuni a 4 e 3.
Caso1: 4 rivolge A,B o C.
Allora un barattolo fra 1 e 3 non ha problemi (6), mentre l'altro può mostrare solo 5 facce.
Caso2: altrimenti.
Nessun problema di averli uguali.
=>Risposta finale: $ \ 24\cdot 36\cdot (3\cdot 6\cdot 5+3\cdot 36)=\ldots 171072 $.
Non si smette mai di imparare.
sinceramente leggo e rileggo la tua soluzione e non trovo alcun errore; io però l'avevo risolto così: $ \displaystyle 2 \binom{4}{2}=24 $
poi per trovare le possibili facce diverse senza cambiare l'ordine ho fatto: $ 6^4 \cdot 3 + 3\cdot6^2 \cdot4\cdot5=6048 $
A questo punto però non mi è chiaro se devo fare $ 6048\cdot24=145152 $ oppure fare $ 24\cdot6^5 - ({6^5-6048})=184896 $...
So che molto probabilemnte la mia soluzione è sbagliata e la tue è giusta, però potresti aiutarmi a capire dove ho sbagliato
per trovare 6048, ho diviso il problema in 2 casi, il primo, in cui al quarto barattolo non usciva nè A nè B nè C, qundi $ 3\cdot6^4 $ che ho sommato al secondo nel quale avevo 6 possibilità su 6 per 2 barattoli quindi $ 6^2 $ , 3 su 6 per N. 4 baratoolo, 4 su 6 per N.3 e 5 su 6 per N.1...
EDIT: il tuo errore (secondo la mia quesi sicuramente errata opinione
) è che dentro parentesi hai moltiplicato per 6 per la N.3 quando andava moltiplicato per 4.
poi per trovare le possibili facce diverse senza cambiare l'ordine ho fatto: $ 6^4 \cdot 3 + 3\cdot6^2 \cdot4\cdot5=6048 $
A questo punto però non mi è chiaro se devo fare $ 6048\cdot24=145152 $ oppure fare $ 24\cdot6^5 - ({6^5-6048})=184896 $...
So che molto probabilemnte la mia soluzione è sbagliata e la tue è giusta, però potresti aiutarmi a capire dove ho sbagliato
per trovare 6048, ho diviso il problema in 2 casi, il primo, in cui al quarto barattolo non usciva nè A nè B nè C, qundi $ 3\cdot6^4 $ che ho sommato al secondo nel quale avevo 6 possibilità su 6 per 2 barattoli quindi $ 6^2 $ , 3 su 6 per N. 4 baratoolo, 4 su 6 per N.3 e 5 su 6 per N.1...
EDIT: il tuo errore (secondo la mia quesi sicuramente errata opinione
) è che dentro parentesi hai moltiplicato per 6 per la N.3 quando andava moltiplicato per 4.