Staffetta algebra
In attesa che il nostro Piever o chi altro ce la faccia nell'impresa del problema 5, aspettiamo che pak-man ne proponga uno nuovo..
Per i prossimi che proporranno problemi, dopo un tempo massimo di una settimana si è pregati di postare la soluzione, altrimenti chiunque altro che si trovi a leggere questo thread ne può postare uno nuovo.
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The only goal of science is the honor of the human spirit.
a e b numeri reali? Può essere $ \frac{4}{5} $ ?
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Soluzione problema 11. Sia definita la variabile $ t:=x+x^{-1} $. Notiamo che vale $ |t|\ge 2 $ e prende esattamente tutti i valori con modulo almeno 2. Per ipotesi abbiamo quindi che $ t^2+at+b-2 $ ha almeno una soluzione reale. Il problema è minimizzare $ a^2+b^2 $, che in un grafico in cui gli assi sono rappresentati da $ a $ e $ b $ equivale a minizzare la più piccola distanza dall'origine alla retta $ b=-at-t^2+2 $ sotto il vincolo $ |t|\ge 2 $. E in funzione di $ t $ il punto cercato sarà $ (a,b)=\left(-t(1-\frac{3}{t^2+1}),-(1-\frac{3}{t^2+1})\right) $. A questo punto basta minimizzare $ a^2+b^2=(t^2+1)(1-\frac{3}{t^2+1})^2 $. Ma entrambi i fattori sono funzioni crescenti rispetto a $ |t| $ per cui si otterrà il minimo se e solo se $ |t|=2 $, cioè $ \min\{a^2+b^2\}=(2^2+1)(1-\frac{3}{2^2+1})^2=\frac{4}{5} $. []
Ps. Spero esista una soluzione migliore..
Ps. Spero esista una soluzione migliore..
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Per quanto bruttta posto anche la mia pseudo soluzione:
Noto che l'Eq. ha soluzioni reali per a=-1 e b=0, quindi la minimizzazione di $ a^2+b^2 $, deve essere minore/uguale a 1. a Questo punto capisco che per avere una minimizzazione minore di 1, i due coefficenti a e b devono essere minori di 1 (inteso come valore assoluto). Sostituendo enll'Eq. x=1, noto che 2a+b deve essere uguale a 2, e in generale 2a+b deve essere maggiore/uguale a 2. vedo un po' di possibilità tra cui $ a= \frac{4}{5} , b= \frac {2}{5} $ (sempre in valore assoluto)per i quali valori $ a^2+b^2 =\frac{4}{5} $ e vedo che se si prova diminuendo o la a o la b senza cambiare l'altra, L'eq viene impossibile in R, mentre aumentando o la a o la b diminuando l'altra per far sì che l'Eq. rimanga con soluzioni, il valore di $ a^2+b^2 $ aumenta, arrivi quindi a dire che il minimo di $ a^2+b^2 = \frac{4}{5} $.
Lo so è oscena, però al risultato ci sono arrivato
Noto che l'Eq. ha soluzioni reali per a=-1 e b=0, quindi la minimizzazione di $ a^2+b^2 $, deve essere minore/uguale a 1. a Questo punto capisco che per avere una minimizzazione minore di 1, i due coefficenti a e b devono essere minori di 1 (inteso come valore assoluto). Sostituendo enll'Eq. x=1, noto che 2a+b deve essere uguale a 2, e in generale 2a+b deve essere maggiore/uguale a 2. vedo un po' di possibilità tra cui $ a= \frac{4}{5} , b= \frac {2}{5} $ (sempre in valore assoluto)per i quali valori $ a^2+b^2 =\frac{4}{5} $ e vedo che se si prova diminuendo o la a o la b senza cambiare l'altra, L'eq viene impossibile in R, mentre aumentando o la a o la b diminuando l'altra per far sì che l'Eq. rimanga con soluzioni, il valore di $ a^2+b^2 $ aumenta, arrivi quindi a dire che il minimo di $ a^2+b^2 = \frac{4}{5} $.
Lo so è oscena, però al risultato ci sono arrivato
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Grazie Jordan .
Ve lo dico subito è abbastanza semplice come problema, o meglio, direi che è la mio livello .
Siano $ P(x), Q(x) $ e $ R (x) $ tre polinomi. Si provi che, se $ P(x^2) + xQ(x^2) = (x^2 - 4) \cdot R(x) $
allora $ P(x) $ e $ Q(x) $ sono divisibili per $ x-4 $.
Se, viceversa, due polinomi $ A(x) $ e $ B(x) $ sono divisibili per $ x-4 $, è vero che esiste un polinomio $ C(x) $ tale che $ A(x^2) + x(B)x^2) = (x^2 - 4) \cdot C(x) ? $
Ve lo dico subito è abbastanza semplice come problema, o meglio, direi che è la mio livello .
Siano $ P(x), Q(x) $ e $ R (x) $ tre polinomi. Si provi che, se $ P(x^2) + xQ(x^2) = (x^2 - 4) \cdot R(x) $
allora $ P(x) $ e $ Q(x) $ sono divisibili per $ x-4 $.
Se, viceversa, due polinomi $ A(x) $ e $ B(x) $ sono divisibili per $ x-4 $, è vero che esiste un polinomio $ C(x) $ tale che $ A(x^2) + x(B)x^2) = (x^2 - 4) \cdot C(x) ? $
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
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- Iscritto il: 23 dic 2009, 17:14
dimostriamo che 4 è radice dei due polinomi.amatrix92 ha scritto:Grazie Jordan .
Ve lo dico subito è abbastanza semplice come problema, o meglio, direi che è la mio livello .
Siano $ P(x), Q(x) $ e $ R (x) $ tre polinomi. Si provi che, se $ P(x^2) + xQ(x^2) = (x^2 - 4) \cdot R(x) $
allora $ P(x) $ e $ Q(x) $ sono divisibili per $ x-4 $.
Se, viceversa, due polinomi $ A(x) $ e $ B(x) $ sono divisibili per $ x-4 $, è vero che esiste un polinomio $ C(x) $ tale che $ A(x^2) + x(B)x^2) = (x^2 - 4) \cdot C(x) ? $
poniamo quindi x=2:
$ p(4) + 2q(4) = 0 $
ora poniamo x=-2
$ p(4) - 2q(4) = 0 $
sommando membro a membro si ha
$ p(4) = 0 $
da cui $ q(4) = 0 $
quindi 4 è radice di p e q, quindi per ruffini il polinomio è divisibile per x-4.
seconda parte:
chiamiamo
$ A(x)=(x-4)A'(x) $
$ B(x)=(x-4)B'(x) $
sostituendo nella equazione data si ha
$ (x^2 - 4)A'(x^2) + x(x^2 - 4)B'(x^2) = (x^2 - 4)C(x) $
semplifichiamo
$ A'(x^2) + xB'(x^2) = C(x) $
e risulta quindi che il polinomio C(x) cercato debba avere le caratteristiche sopra riportate, che sono sempre possibili. di conseguenza esiste sempre.
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- Iscritto il: 23 dic 2009, 17:14
Proviamo con un grado II. Chiamiamo $ ~ p(x) = x^2 + ax $. Da p(1)=1 otteniamo a=0, da p(-1)=2 invece a=-1; non va.
Grado III. Poniamo $ ~ q(x) = x^3 + ax^2 + bx $. Da q(1)=1 otteniamo a+b=0, da q(-1)=2 invece a-b = 3. Risolvendo a=3/2, b=-3/2
Allora $ ~ q(x) = x^3 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{2}x $
Grado III. Poniamo $ ~ q(x) = x^3 + ax^2 + bx $. Da q(1)=1 otteniamo a+b=0, da q(-1)=2 invece a-b = 3. Risolvendo a=3/2, b=-3/2
Allora $ ~ q(x) = x^3 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{2}x $
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.
[/i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.
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- Iscritto il: 23 dic 2009, 17:14
perfetto (magari per zelo io avrei detto che i tre punti nel piano non sono allineati quindi grado uno non va bene)Haile ha scritto:Proviamo con un grado II. Chiamiamo $ ~ p(x) = x^2 + ax $. Da p(1)=1 otteniamo a=0, da p(-1)=2 invece a=-1; non va.
Grado III. Poniamo $ ~ q(x) = x^3 + ax^2 + bx $. Da q(1)=1 otteniamo a+b=0, da q(-1)=2 invece a-b = 3. Risolvendo a=3/2, b=-3/2
Allora $ ~ q(x) = x^3 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{2}x $
tocca a te