Dimostrazione

[Carlitosming]

Supponiamo che f(x) sia un polinomio a coefficienti interi tali che f(2)=3 e f(7)=-5.
Dimostra che f(x) non ha radici intere.
C'e qualche metodo senza usare le congruenze modulo p.

[dario2994]

Uhm se non ho sbagliato possiamo anche dire che un tale polinomio non esiste
Per farlo sfrutto:
$ $a-b|f(a)-f(b) $
Pongo a=7,b=2:
$ $5|-8 $
che è assurdo.

[Spammowarrior]

se ti può confortare, dario, ho ottenuto lo stesso risultato, il che mi sembra un po' bizzarro :O
immagino che ci sia un typo da qualche parte...

[Carlitosming]

Il testo del problema diceva cosi.

[Gauss91]

Sìsì non ci sono dubbi: sia in quel modo che impostando le due equazioni viene fuori
45a + 5b = -8 che come diofantea non è risolubile...
Beh in effetti quel fantomatico polinomio non ha radici intere se neanche esiste...

[gian92]

Sìsì non ci sono dubbi: sia in quel modo che impostando le due equazioni viene fuori
45a + 5b = -8 che come diofantea non è risolubile...
Beh in effetti quel fantomatico polinomio non ha radici intere se neanche esiste...

per sapere: come si imposta la diofantea?

[Gauss91]

Questo è un caso in cui $ f(x) = ax^2 + bx + c $ :
$ 49a + 7b + c = -5 $
$ 4a + 2b + c = 3 $
Sottraendo membro a membro si ha quello che ho scritto.

Ovviamente il grado di f(x) può essere uno qualsiasi n ma il succo è quello: viene fuori un'equazione diofantea di grado n in cui il gcd dei coefficienti è 5, che non divide -8.
(Lo so che è la stessa cosa fatta da dario usando un risultato noto: è una prova in più che nessuno ha sbagliato nulla )[/tex]

[gian92]

Questo è un caso in cui $ f(x) = ax^2 + bx + c $ :
$ 49a + 7b + c = -5 $
$ 4a + 2b + c = 3 $
Sottraendo membro a membro si ha quello che ho scritto.

Ovviamente il grado di f(x) può essere uno qualsiasi n ma il succo è quello: viene fuori un'equazione diofantea di grado n in cui il gcd dei coefficienti è 5, che non divide -8.
(Lo so che è la stessa cosa fatta da dario usando un risultato noto: è una prova in più che nessuno ha sbagliato nulla )[/tex]

capito grazie mille!

[Gogo Livorno]

Questo è un caso in cui $ f(x) = ax^2 + bx + c $ :
$ 49a + 7b + c = -5 $
$ 4a + 2b + c = 3 $
Sottraendo membro a membro si ha quello che ho scritto.

Ovviamente il grado di f(x) può essere uno qualsiasi n ma il succo è quello: viene fuori un'equazione diofantea di grado n in cui il gcd dei coefficienti è 5, che non divide -8.
(Lo so che è la stessa cosa fatta da dario usando un risultato noto: è una prova in più che nessuno ha sbagliato nulla )[/tex]

Sicuri sicuri?

Premesso che non lo so (e che, a conti fatti, il tuo ragionamento torna), ma il fatto che non esiste un polinomio di grado 2 con quelle caratteristiche come può implicare che non esiste NESSUN polinomio con quelle caratteristiche?

Non potrebbe esisterne uno di grado 3?

[Gauss91]

Sicuri sicuri?

Premesso che non lo so (e che, a conti fatti, il tuo ragionamento torna), ma il fatto che non esiste un polinomio di grado 2 con quelle caratteristiche come può implicare che non esiste NESSUN polinomio con quelle caratteristiche?

Non potrebbe esisterne uno di grado 3?

Sì: come ho detto il mio era un caso particolare preso come puro esempio:

Ovviamente il grado di f(x) può essere uno qualsiasi n ma il succo è quello: viene fuori un'equazione diofantea di grado n in cui il gcd dei coefficienti è 5, che non divide -8.

Prova ad impostarla ponendo $ f(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0 $

[Giuseppe R]

7 è congruo a 2 (modulo 5), quindi f(2)-f(7) fa 0 (modulo 5) ed è della forma 5g(k), pertanto è impossibile che valga 5-(-3)=8 essendo a coefficienti interi.

[Gogo Livorno]

Ottimo!!! Ci sono

[Jacobi]

Uhm se non ho sbagliato possiamo anche dire che un tale polinomio non esiste
Per farlo sfrutto:
$ $a-b|f(a)-f(b) $
Pongo a=7,b=2:
$ $5|-8 $
che è assurdo.

attenzione ke non hai dimostrato che non esiste nessun polinomio con quelle caratteristiche, ma hai dimostrato che non esiste nessun polinomio a coefficienti interi che soddisfa quelle ipotesi (il che implica anche la tesi del problema). cmq se non si fa l'ipotesi dei coefficienti interi, dati n+1 punti si puo sempre costruire un polinomio di grado al piu n che passi per quei punti!

[julio14]

attenzione ke non hai dimostrato che non esiste nessun polinomio con quelle caratteristiche

Tra le caratteristiche non c'erano anche i coefficienti interi?

Supponiamo che f(x) sia un polinomio a coefficienti interi tali che f(2)=3 e f(7)=-5.

[Gauss91]

hai dimostrato che non esiste nessun polinomio a coefficienti interi che soddisfa quelle ipotesi

Cioè un polinomio come quello dell'ipotesi non esiste . Dario l'aveva sicuramente già messo in conto, dato che l'ipotesi richiedeva a coefficienti interi.
Poi è chiaro che un polinomio tipo
$ f(x) = - \displaystyle\frac{8}{5}x + \displaystyle\frac{31}{5} $ soddisfa le condizioni richieste.

EDIT: anticipato.