Cerchio

[Reginald]

Spero non sia già stato postato...
Su una circonferenza ci sono n punti. Tracciamo tutte le corde che hanno come estremi due di questi n punti, trovare in quante parti può essere stato diviso al massimo il cerchio..

[Sir Yussen]

Semplice..


2^n-1 (non so usare latex, ho scritto 2 alla n-1)

[Euler]

Per n pari mi verrebbe da dire n {[(n-4)/2+1]²+1}, ma non ne sono del tutto sicuro...

[Reginald]

Semplice..


2^n-1 (non so usare latex, ho scritto 2 alla n-1)

No, mi spiace...Poi in generale, sarebbe bello vedere uno straccio di dimostrazione..magari il ragionamento è giusto e hai sbagliato i conti...anche se non credo..
@Euler: non ho controllato ma non mi pare vada bene... e poi, impara il latex dai, è facile..=)..

[Euler]

Sì infatti ho considerato che i punti dovevano formare archi uguali, mentre invece non è detto... nel caso ci fosse questo vincoolo , sarebbe giusto il mio risultato?

[Dani92]

Non so, ma sicuramente il tuo vincolo non va: se provi con l'esagono le diagonali si incontrano in un punto e questo non ti va bene..!

[Euler]

Perchè non va bene?
Posso dire che le tre diagonali prese singolarmente dividono un esagono in 6 parti...comunque è inutile cercare di risolvere parzialmente il problema

[Dani92]

Ti chiede il MASSIMO di parti che si vengono a creare... Se 3 diagonali sono concorrenti non hai di certo il massimo, perchè spostando di poco una delle 3 formi un triangolo dove prima c'era un punto, ottenendo una "zona" in più...

Spero di essermi spiegato!

[Anér]

Questo è il tipico problema in cui i casi piccoli portano a congetture sbagliate; Reginald, te lo ha detto il Tama questo problema? Io lo conosco da lui.

[Reginald]

@Anèr: effettivamente le potnze di due mi stavano simpatiche fino a ieri XD Comunque.. No, lo ho trovato sull'engel e la mia dimostrazione fa vomitare, quindi ne cercavo una migliore....=)

[Zorro_93]

@Anèr: effettivamente le potnze di due mi stavano simpatiche fino a ieri XD Comunque.. No, lo ho trovato sull'engel e la mia dimostrazione fa vomitare, quindi ne cercavo una migliore....=)

Mi sembra che l'abbia svolto fph in uno stage senior (algebra basic)

[Euler]

Ti chiede il MASSIMO di parti che si vengono a creare... Se 3 diagonali sono concorrenti non hai di certo il massimo, perchè spostando di poco una delle 3 formi un triangolo dove prima c'era un punto, ottenendo una "zona" in più...

Spero di essermi spiegato!

Che il vincolo è sbagliato l'avevo già capito.

[Dani92]

Boh provo una dimostrazione un po poco formale, spero non vi schifi troppo..

Inizio la mia costruzione con un cerchio vuoto. n°spazi=1

Poi prendo un punto, e da lì faccio partire un segmento verso dove mi pare: il segmento crea un nuovo spazio, quindi +1segmento -> + uno spazio.

Questo vale sempre, perchè se prendo una corda che non intersachi nessuna altra corda, sicuramente aggiunge solo uno spazio (divide in due uno già esistente).

Se invece interseca un segmento, crea uno spazio in più perchè divide i 2 spazi formati dal segmento precedente, facendoli diventare 4. Se interseca 3 segmenti passa (e quindi divide in due) 4 zone e così via, quindi una nuova corda che io creo, intersecata con n corde precedenti, genera n spazi in più oltra a quello "base" che creerebbe se non incontrasse corde.

A questo punto so che trovo uno spazio:
- All'inizio (1 spazio)
- Ogni corda che creo
- Ogni intersezione tra una coppia di diagonali

Le corde sono $ {n\choose 2} $ mentre i punti d'incontro delle diagonali, al massimo, sono $ {n\choose 4} $ quindi gli spazi che al massimo si creano sono

$ {n\choose 2}+{n\choose 4}+1 $

[Anér]

No, invece è davvero una bella dimostrazione.

[Zephyrus]

i punti d'incontro delle diagonali, al massimo, sono $ {n\choose 4} $

Mi sembra che qui ci sia un errore... i punti d'incontro non possono essere $ {n\choose 4} $: prendi ad esempio 4 punti su una circonferenza, e numerali in senso orario da 1 a 4: i segmenti 1-2, 3-4 non potranno mai incontrarsi...
EDIT: @Dani92: Naturalmente hai ragione, quell'$ {n\choose 4} $ è giusto...