trovare tutte le coppie di numeri interi x e y tali che $ x^3+y^3=91 $
somma di cubi
somma di cubi
Propongo un esercizio semplice:
trovare tutte le coppie di numeri interi x e y tali che $ x^3+y^3=91 $
trovare tutte le coppie di numeri interi x e y tali che $ x^3+y^3=91 $
cogito ergo demonstro
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exodd
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$ a^2-ab+b^2 $ è un falso quadrato, quindi sempre positivo, e ciò dimezza il numero di sistemi
$ a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab $ questo invece diminuisce il tempo di calcolo di ogni sistema
$ a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab $ questo invece diminuisce il tempo di calcolo di ogni sistema
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
io ne ho trovata alcune spero siano giuste.. 
cmq scompongo
$ x^3+y^3 $ in $ (x+y)(x^2+y^2-xy) $
ottenendo:
$ (x+y)(x^2+y^2-xy)=91 $
e divido entrambi i membri per (x+y):
$ (x^2+y^2-xy)=91/(x+y) $
e aggiungo ad entrambi i membri 3xy:
$ (x^2+y^2+2xy)=91/(x+y) +3xy $
$ (x+y)^2=91/(x+y) +3xy $
dal momento che x e y sono numeri interi reali è logico pensare (almeno per me..) che 91 sia divisibile per (x+y), quindi (x+y) puo valere +-1,+-13,+-7
per x+y=1 otteniamo:
$ 1=91+3xy $
$ -90=3xy $
$ -30=xy $
tenendo presente che x+y=1 e che -30=xy si deduce che le soluzioni siano (6,-5), (-5,6)
per x+y=-1:
$ 1=-91+3xy $
$ 92=3xy $
$ 92/3=xy $
che è impossibile perchè x e y sono interi e quindi lo sarà anche il loro prodotto..
la stessa cosa succede per x+y=-7 e x+y=-13
per x+y=7:
$ 49=13+3xy $
$ 36=3xy $
$ 12=xy $
sapendo che x+y=7 e xy=12 faccio un sistema e ottengo le soluzioni (4,3), (3,4)
per x+y=13
$ 169=7+3xy $
$ 162=3xy $
$ 54=xy $
sapendo che x+y=13 e xy=54 faccio un sistema e ottengo $ y^2-13y+54=0 $ che avendo un delta negativo è impossibile..
quindi le coppie sono (4,3), (3,4), (6,-5), (-5,6)
cmq scompongo
$ x^3+y^3 $ in $ (x+y)(x^2+y^2-xy) $
ottenendo:
$ (x+y)(x^2+y^2-xy)=91 $
e divido entrambi i membri per (x+y):
$ (x^2+y^2-xy)=91/(x+y) $
e aggiungo ad entrambi i membri 3xy:
$ (x^2+y^2+2xy)=91/(x+y) +3xy $
$ (x+y)^2=91/(x+y) +3xy $
dal momento che x e y sono numeri interi reali è logico pensare (almeno per me..) che 91 sia divisibile per (x+y), quindi (x+y) puo valere +-1,+-13,+-7
per x+y=1 otteniamo:
$ 1=91+3xy $
$ -90=3xy $
$ -30=xy $
tenendo presente che x+y=1 e che -30=xy si deduce che le soluzioni siano (6,-5), (-5,6)
per x+y=-1:
$ 1=-91+3xy $
$ 92=3xy $
$ 92/3=xy $
che è impossibile perchè x e y sono interi e quindi lo sarà anche il loro prodotto..
la stessa cosa succede per x+y=-7 e x+y=-13
per x+y=7:
$ 49=13+3xy $
$ 36=3xy $
$ 12=xy $
sapendo che x+y=7 e xy=12 faccio un sistema e ottengo le soluzioni (4,3), (3,4)
per x+y=13
$ 169=7+3xy $
$ 162=3xy $
$ 54=xy $
sapendo che x+y=13 e xy=54 faccio un sistema e ottengo $ y^2-13y+54=0 $ che avendo un delta negativo è impossibile..
quindi le coppie sono (4,3), (3,4), (6,-5), (-5,6)
Sempre con i sistemi, però devi considerare soloi casi (1,p), (p,1), (-1,-p), (-p,-1), se il numero non è primo ne hai chiaramente molti di più... Quindi se non ti ricordi che 91 è primo salti parecchi casi che possono portare a soluzioni valideio.gina93 ha scritto:perchè? se fosse stato primo come l'avresti risolto??Euler ha scritto:All'inizio non mi veniva proprio per questo!ndp15 ha scritto:Il difficile dell'esercizio è ricordarsi che 91 non è primo!
cmq scusate la mia ignoranza...
