Parallelogrammo e "proiezioni" sui lati, allineame

[dario2994]

ABCD è un parallelogrammo e P un punto. Traccio le parallele ai lati del parallelogrammo ABCD e queste intersecano AB in X ed AD in Y. Chiamo Z l'intersezione tra BY e DX. Mostrare che Z,P,C sono allineati.

[amatrix92]

O non ho capito il senso del problema o hai lasciato un pezzo... nel mio disegno non vengono allineati.. P è un punto qualsiasi? interno esterno? come?

[Euler]

Chiamando a=PYB e b=ADX, so che $ PZY=\pi-a-YPZ=\pi-a-(\pi-DCZ)=DCZ-a=\pi-b-CZD-a $. Invece $ DZY=\pi-ZDA-AYZ=\pi-(\pi-a-b)=a+b $. Allora $ CZD+DZY+YZP=\pi $
Q.E.D.

[Euler]

Questa dimostrazione è per P esterno, con P interno cambiano le lettere.

O non ho capito il senso del problema o hai lasciato un pezzo... nel mio disegno non vengono allineati.. P è un punto qualsiasi? interno esterno? come?

Sì, ho notato anch'io che P, se esterno, deve essere dalla stessa parte di B rispetto ad AC

[karl]

Un'altra dimostrazione.
Sia C' (che sul momento considero distinto da C ) l'intersezione di ZP con DC.

Applico Menelao al triangolo DXR ,tagliato dalla trasversale ZC':
(1) $ $\frac{C'R}{C'D}\cdot\frac{DZ}{ZX}\cdot\frac{PX}{PR}=1$ $

Applico Menelao al triangolo DXA ,tagliato dalla trasversale BY:
(2) $ $\frac{BX}{BA}\cdot\frac{AY}{YD}\cdot\frac{DZ}{DX}=1$ $

Confrontando (1) e (2) si trova che :
$ $\frac{C'R}{C'D}=\frac{BX}{BA}=\frac{CR}{CD}$ $
Pertanto i punti C e C' dividono ,entrambi esternamente , il segmento RD nel medesimo rapporto
e dunque essi coincidono.La medesima dimostrazione ,con gli stessi identici
calcoli,si consegue se P è esterno al parallelogramma.

[dario2994]

Per chi volesse provare a dimostrarlo in un modo diverso... secondo me è istruttivo provarci usando desargues e poi Ceva... viene figo