Equazione geometrica

[karlosson_sul_tetto]

Ma lasciamolo pure in geometria, però impara ad usare il latex .. ci vanno le { non le [--EG

(Da kvant)
In un triangolo ABC la mediana BK e la bisettice CL si incontrano in un punto P. Dimostrate che:
$ \displaystyle{\frac{|PC|}{|PL|}-\frac{|AC|}{|AB|}=1} $


Buona risoluzione.

P.S:ma andava qua o in algebra? Se in algebra, sarei grato al mod che la spostasse

[dario2994]

Sfruttiamo la dispensa che è stata da poco segnalate in glossario...
Ecco il link al teorema che userò:
http://www.lorenzoroi.net/geometria/Cev ... ezrapporto

Traccio la retta AP che interseca CB in Z.

Vale $ $CK/KA=1 $ poichè K è il punto medio.
Vale $ $AL/LB=AC/BC $ per il teorema della bisettrice.
Applicando Ceva ad ABC con il punto P ottengo:
$ $1=\frac{AL\cdot BZ\cdot CK}{LB\cdot ZC\cdot KA}=\frac{AC\cdot BZ}{BC\cdot BC}\Rightarrow \frac{CZ}{ZB}=\frac{AC}{BC} $

Ora applico il teorema linkato ottenendo $ $\frac{PC}{PL}=1+\frac{AC}{BC} $ che è la tesi. (ho controllato con geogebra è giusto così, non con AB sotto o forse ho sbagliato ad interpretare il testo... )

[karl]

Effettivamente ci deve essere un errore nella traccia ( a meno di non considerare
il caso banalissimo di un triangolo equilatero) perché con altro procedimento mi
trovo il medesimo risultato di Dario.
Si prolunghi AC da parte opposta ad A in modo che sia CD=BC e si unisca B con D.
E' facile constatare che in tal modo risulta CL parallelo a BD.
Allora dalla similitudine dei triangoli CKP e BKD si ha:

(1) $ $\frac{PC}{BD}=\frac{CK}{DK}=\frac{b/2}{a+b/2}=\frac{b}{2a+b}$ $

mentre dalla similitudine di ACL e ABD si trae:

(2) $ $\frac{CL}{BD}=\frac{CA}{DA}=\frac{b}{a+b}$ $

Dividendo membro a membro (1) e (2) :
$ $\frac{PC}{CL}=\frac{a+b}{2a+b}$ $
E scomponendo:
$ $\frac{PC}{CL-PC}=\frac{PC}{PL}=\frac{a+b}{a}=1+\frac{b}{a}=1+\frac{AC}{BC}$ $

[EvaristeG]

Sfruttiamo la dispensa che è stata da poco segnalate in glossario...
Ecco il link al teorema che userò:
http://www.lorenzoroi.net/geometria/Cev ... ezrapporto

Teorema che ai meno (volevo dire "ai più", ma visto che si tratta di geometria...) è noto come teorema di Van Obel : qui si trovano lui, la dimostrazione e i due fratellini teoremi di Gergonne.