Disuguaglianza

[it22]

Ho provato a farlo, ma senza ovviamente ottenere risultati decenti.
Mi affido a voi :

Dati $ a_{1}=3 $, $ b_{1}=4 $, e sapendo che $ a_{n}=3^{a_{n-1}} $ e $ b_{n}=4^{b_{n-1}} $ per $ n>1 $, dimostrare che $ a_{1000}>b_{999} $

p.s. spero di non avere sbagliato sezione

EDIT: ma_go

[ma_go]

no, la sezione è quella giusta: ho modificato il tuo messaggio per correggere il TeX.
come nota generale, non mettere tutto in codice: è faticoso, viene male ed appesantisce il tutto.. anzi, tendenzialmente prova ad usare meno codice che puoi (per questioni di comodità e leggibilità, ed entro certi limiti delle stesse...). ad esempio: n>1 lo potevo tranquillamente lasciare così com'è, senza TeXXarlo, ma se ci sono tante somme/pedici/apici meglio usare il TeX, visto che c'è..

[it22]

Grazie per la dritta! In effetti non era molto leggibile xD

[ngshya]

Dati $ a_{1}=3 $, $ b_{1}=4 $, e sapendo che $ a_{n}=3^{a_{n-1}} $ e $ b_{n}=4^{b_{n-1}} $ per $ n>1 $, dimostrare che $ a_{1000}>b_{999} $

Vogliamo dimostrare per induzione che $ \displaystyle a_n>2b_{n-1} $.

Passo base: $ \displaystyle a_2=3^3 $ e $ \displaystyle b_1=4 $ $ \displaystyle \Longrightarrow 27>8 $. Vera.

Passo induttivo: $ \displaystyle a_n>2b_{n-1}\Longrightarrow a_{n+1}>2b_n $.
$ \displaystyle 3^{a_n}>2\cdot 4^{b_{n-1}}=2^{2b_{n-1}+1}\Longrightarrow $$ \displaystyle a_n\log 3 >(2b_{n-1}+1)\log 2\Longrightarrow a_n >\frac{\log 2}{\log 3}(2b_{n-1}+1) $.
Quest'ultima è vera perché $ \displaystyle 2b_{n-1}>\frac{\log 2}{\log 3}(2b_{n-1}+1)\Longrightarrow b_{n-1}>\frac{\log 2}{2\log 3 - 2 \log 2}<1 $ (ogni $ $b_{i}>b_{1}=4$ $), cioè $ \displaystyle a_n>2b_{n-1}>\frac{\log 2}{\log 3}(2b_{n-1}+1) $ e quindi anche il passo induttivo è vero.

Per concludere $ \displaystyle a_n>2b_{n-1}>b_{n-1} $.

[Tibor Gallai]

Il passo induttivo senza logaritmi e cose strane:

$ $a_{n+1} = 3^{a_n} > 3^{2b_{n-1}} = 9^{b_{n-1}} > 8^{b_{n-1}} = 2^{b_{n-1}}\cdot 4^{b_{n-1}} > 2\cdot 4^{b_{n-1}} = 2b_n $.

[it22]

Grazie a entrambi! Non so perché ma ero convinto che prima o poi b avrebbe superato a!