Circonferenza (e) retta

[karlosson_sul_tetto]

(Da kant)
Una retta $ $L $ e due punti, $ $A $ e $ $B $, giacciono sullo stesso semipiano. Dato un punto $ $M $ sulla retta $ $L $, tale che la somma $ AM+MB $ sia la più piccola possibile, e un punto $ $N $, tale che $ AN=BN $.Dimostrate che $ $A $,$ $B $,$ $N $ e $ $M $ giacciono sulla stessa circonfernza.

[minima.distanza]

allora, chiedo anticipatamente venia per la parte in cui mi metto in braccio il martello pneumatico delle derivate, ma è l'unico modo che mi è venuto in mente, se qualcuno ne trova un altro più elegante, lo dica pure !

Noto innanzitutto che $ N $ è l'intersezione dell'asse del segmento $ AB $ con la retta $ L $. Da cui proseguo trovando le caratteristiche di $ M $. Dette ora $ A' $ e $ B' $ le proiezioni rispettivamente di $ A $ e $ B $ su $ L $,li battezzo rispettivamente coi nomi di $ x $ e $ y $. Detto ora $ C_n $ un generico punto sulla retta $ L $, si ha che ( per Pitagora): $ C_{n}B = \sqrt{x^2 + C_{n}B'^2} $ e che $ C_{n}A = \sqrt{y^2 +C_{n}A'^2} $ sommando e derivando ottengo che$ AA'C_{n} $ è simile a $ BB'C_{n} $... da questo ottengo che il punto $ M $ forma angoli congruenti incidendo con la retta....

scusate, finisco più tardi discrivere, sono di fretta ora, perdonatemi... ( fracnametne da qui in poi non so nemmeno se è giusta, ricontrollo, fin qui che ve ne pare ?)

[Tibor Gallai]

Hint: basta riflettere e la soluzione vien da sé...

[Sonner]

E' così?

Rifletto il punto A in A' rispetto alla retta L. Il triangolo $ NBA' $ è isoscele ($ A'N=AN=BN $) quindi $ \angle NBM= \angle NA'M =\angle NAM $ da cui la ciclicità di $ NBAM $.

Edit: M è il punto che minimizza AM+MB=A'M+BM e questo avviene quando è allineato con A' e B (non so se si può dare per buono così, comunque volendo è vero per la triangolare).

[Tibor Gallai]

Sì, hai riflettuto bene.
Hai dimenticato di dire però che A', M e B sono allineati.

[minima.distanza]

ehm... cosa vuol dire "Rifletto il punto A in A' sulla retta L "?

[Sonner]

ehm... cosa vuol dire "Rifletto il punto A in A' sulla retta L "?

Applico ad A una simmetria assiale rispetto alla retta L, il punto immagine lo chiamo A'