criterio per vedere se una curva è irriducibile

[scifo]

Ciao amici

mi potete dire se, data l'equazione di una curva algebrica, si può stabilire se essa è o no irriducibile?
In altre parole, dati i coefficienti di una curva algebrica, esistono delle relazioni fra di essi, che mi dicono se la curva è o no irriducibile?:?:

Nel caso di curve semplici questo si può vedere a occhio, ad esempio si vede subito che la cubica x^3 + y^3 + x^2*y + x*y^2 = 0 , essendo
x^3 + y^3 + x^2*y + *y^2 = (x + y)*(x^2 + y^2) è riducibile in una retta e una conica.

Ma quando la curva è una quartica o quintica o sestica ciò non è generalmente possibile...

Allora come si può fare?:?:

[Nonno Bassotto]

Quello che cerchi tu si chiama teoria dell'eliminazione, ed è decisamente da MNE. Esistono dei criteri come cerchi tu, del tipo "questa curva è riducibile se e solo se i coefficienti verificano queste equazioni", ma calcolare le equazioni esplicitamente può essere rognoso. Nella maggior parte dei casi è sufficiente sapere che le equazioni esistono, e questo si dimostra con un po' di geometria algebrica (precisamente serve sapere che le varietà proiettive sono proprie).

[scifo]

Ciao Nonno Bassotto

Ti ringrazio per la risposta sollecita...

Se ho capito bene controllare se una curva è o no irriducibile è rognoso...
Ma quanto è rognoso? E' possibile per un ignorante come me fare questo controllo,
almeno per un'equazione di un grado non elevato?

Per quello che interessa a me in particolare: la curva di equazione

$ x^2(9x^2 - 17) + y^3(2y^2 + 5y - 9) + xy(5x^3 - 7xy^2 - 3xy + 4x) + 8 = 0 . $

è o no irriducibile?

Per non farti perdere tempo per fare tu questo controllo, puoi dirmi se e come posso farlo io?

[Nonno Bassotto]

Tranquillo, non ho mai avuto intenzione di fare questo controllo!

Se proprio vuoi farlo tu... beh puoi studiarti il terzo capitolo di questo, e dovrebbe fare tutto quello che ti serve. Ma perché hai bisogno di sapere l'irriducibilità di questa cosa?

Fra parentesi, hai provato a farne un grafico? Su R non è detto che si veda l'irriducibilità, ma almeno ti fai un'idea.

[scifo]

Ti ringrazio per le tue informazioni, ma la mia abissale ignoranza non mi permette di capire un testo di matematica superiore e per di più in inglese...
Volevo sapere se la curva è irriducibile perchè se non sbaglio il numero di parti connesse di una tale curva dovrebbe essere al massimo sette, mentre nel grafico mi pare che siano nove (vedi il grafico in allegato)...
Quindi si può dire da questo che la curva è riducibile?
Se fosse così non c'è un sistema alla mia portata, magari per tentativi, per trovare in questo caso le componenti della curva?
Sbaglio se dico che allora dall'esame della curva queste dovrebbero essere una conica e una cubica?

[Nonno Bassotto]

Così a occho, dal grafico, mi sembra che le componenti connesse nel piano proiettivo siano 5. Le 5 componenti aperte che vedi sembrano raccordarsi in una sola all'infinito. Per vederlo considera che rami con lo stesso asintoto si incontrano in un punto sulla retta all'infinito corrispondente a quell'asintoto, e prova a seguire il tracciato da un ramo all'altro.

Quanto al libro di Cox, Little, O'Shea, l'ho messo proprio per farti capire che il problema generale non è esattamente elementare. Non è nemmeno troppo difficile, ma un po' di matematica ci vuole. Seguire a mano gli algoritmi descritti lì per la tua curva potrebbe diventare complicato, quindi uno dovrebbe fare un programmino per trattare il caso generale. Sono sicuro che questo è stato implementato in molti CAS, ma non ne uso nessuno, perciò non so aiutarti in questo senso.

[scifo]

Ti ringrazio moltissimo per avermi fatto capire che in un piano proiettivo delle parti che sembano connesse per conto loro non lo sono perchè si saldano all'infinito con altre parti...
Infatti io credevo che una curva che ho allegato avesse 7 componenti connesse, mentre se non sbaglio ne ha solo 3 !
E questo mi porta a una domanda, che probabilmente non ha risposta o almeno una risposta che io possa capire, comunque tentar non nuoce...
Come trovare il numero di parti connesse di una curva a partire dalla sua equazione, magari solo per un grado 3,4 o al massimo 5 ?

[fph]

Tradotto in termini più terra-terra, bisogna fattorizzare un polinomio in due variabili, giusto?

[Tibor Gallai]

Quel che è certo è che chiamarlo "nonno bassetto" non gli rende tanto onore. Per 3 volte di fila, poi...

[Nonno Bassotto]

Quel che è certo è che chiamarlo "nonno bassetto" non gli rende tanto onore. Per 3 volte di fila, poi...

[scifo]

Ma se il polinomio si può fattorizzare, non vuol dire che la curva è riducibile?:?:
Ma esiste un metodo per trovare le parti connesse di curve irriducibili, come per esempio la curva di Trott?