Aiuto esercizio 2: Determinare le coordinate dei vertici del triangolo di area massima tra quelli che hanno un vertice in (1,1) e gli altri due vertici sull'ellisse di equazione x^2+4y^2=5.
Grazie!
Senior 2002 G3
Re: Senior 2002 G3
non so proprio da dove cominciare!
Re: Senior 2002 G3
Non mi viene in mente una bella soluzione olimpica...
Se imposti il problema da un punto di vista analitico del tipo $ A=(x_A,y_A) $ e $ B=(x_B,y_B) $ ($ P=(1,1) $) punti sull'ellisse e ti ricavi l'area come la metà del determinante della matrice formata dai vettori AP e BP e poi sostituisci le y dalla relazione dell'ellisse ti ottieni un'equazione in 2 incognite...ponendo le derivate parziali uguali a 0 e facendo qualche conto si vede facilmente che un punto deve essere il simmetrico rispetto all'asse y di P, da cui facilmente concludi che il terzo punto sta sull'intersezione tra l'ellisse e il semiasse negativo delle y...spero possa aiutarti in qualche modo!
Se imposti il problema da un punto di vista analitico del tipo $ A=(x_A,y_A) $ e $ B=(x_B,y_B) $ ($ P=(1,1) $) punti sull'ellisse e ti ricavi l'area come la metà del determinante della matrice formata dai vettori AP e BP e poi sostituisci le y dalla relazione dell'ellisse ti ottieni un'equazione in 2 incognite...ponendo le derivate parziali uguali a 0 e facendo qualche conto si vede facilmente che un punto deve essere il simmetrico rispetto all'asse y di P, da cui facilmente concludi che il terzo punto sta sull'intersezione tra l'ellisse e il semiasse negativo delle y...spero possa aiutarti in qualche modo!
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paga92aren
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Re: Senior 2002 G3
Una soluzione è applicare una trasformazione geometrica che mantiene il rapporto tra le aree ad esempio $y'=2y$ e $x'=x$ in modo tale che l'ellissi si trasforma in un cerchio.
Il punto P(1,1) va in P'(1,2) e l'ellissi finisce nella circonferenza $x^2+y^2=5$.
Il triangolo di area massima iscritto in una circonferenza è quello equilatero e deve avere per vertice P'.
Chiamato O l'origine, A e B i vertici da trovare e H il piede dell'altezza/mediana/bisettrice del vertice P. Noto che la retta POH ha coefficiente angolare 2 e che PO=2OH, quindi ricavo le coordinate di H ($-\frac{1}{2},-1$). La retta AB è perpendicolare a PH quindi ha equazione $y+1=-\frac{1}{2}(x+{1}{2})$ da cui $y=-\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}$.
Interseco la retta con la circonferenza e ottengo $x=\pm\sqrt{3}-\frac{1}{2}$ e $y=\mp\frac{\sqrt{3}}{2}-1$ (l'area del triangolo è $\frac{15}{4}\sqrt{3}$).
Ora faccio la trasformazione inversa e ottengo i punti cercati A($\sqrt{3}-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}$) e B($-\sqrt{3}-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}$) (l'area è $\frac{15}{8}\sqrt{3}$).
Se non ho sbagliato i conti questa dovrebbe essere la soluzione.
Il punto P(1,1) va in P'(1,2) e l'ellissi finisce nella circonferenza $x^2+y^2=5$.
Il triangolo di area massima iscritto in una circonferenza è quello equilatero e deve avere per vertice P'.
Chiamato O l'origine, A e B i vertici da trovare e H il piede dell'altezza/mediana/bisettrice del vertice P. Noto che la retta POH ha coefficiente angolare 2 e che PO=2OH, quindi ricavo le coordinate di H ($-\frac{1}{2},-1$). La retta AB è perpendicolare a PH quindi ha equazione $y+1=-\frac{1}{2}(x+{1}{2})$ da cui $y=-\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}$.
Interseco la retta con la circonferenza e ottengo $x=\pm\sqrt{3}-\frac{1}{2}$ e $y=\mp\frac{\sqrt{3}}{2}-1$ (l'area del triangolo è $\frac{15}{4}\sqrt{3}$).
Ora faccio la trasformazione inversa e ottengo i punti cercati A($\sqrt{3}-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}$) e B($-\sqrt{3}-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}$) (l'area è $\frac{15}{8}\sqrt{3}$).
Se non ho sbagliato i conti questa dovrebbe essere la soluzione.
Ultima modifica di paga92aren il 02 dic 2010, 18:12, modificato 1 volta in totale.
Re: Senior 2002 G3
@alex90 : quando dici la matrice formata da AP e BP intendi la matrice formata dai vettori AP e BP traslati di v(-1,-1)? se si (e ank se no) mi puoi spiegare xk meta determinate della matrice mi da l'area?
@paga92aren: xk dici k la trasformazione dovrebbe mantenere il rapporto dei segmenti( ho controllato e se non sbaglio quella trasformazione non lo mantiene)? non dovrebbe essere il rapporto tra aree ad essere mantenuto( che viene mantenuto sempre con un affinita)? il resto l ho capito.
grazie!
@paga92aren: xk dici k la trasformazione dovrebbe mantenere il rapporto dei segmenti( ho controllato e se non sbaglio quella trasformazione non lo mantiene)? non dovrebbe essere il rapporto tra aree ad essere mantenuto( che viene mantenuto sempre con un affinita)? il resto l ho capito.
grazie!
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paga92aren
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Re: Senior 2002 G3
E' vero mi sono confuso...ardroc ha scritto:@paga92aren: xk dici k la trasformazione dovrebbe mantenere il rapporto dei segmenti( ho controllato e se non sbaglio quella trasformazione non lo mantiene)? non dovrebbe essere il rapporto tra aree ad essere mantenuto( che viene mantenuto sempre con un affinita)? il resto l ho capito.
grazie!
Re: Senior 2002 G3
No dico proprio quei due vettori...per il perchè vedi se ti è chiaro da qui sennò provo a spiegartelo...ardroc ha scritto:@alex90 : quando dici la matrice formata da AP e BP intendi la matrice formata dai vettori AP e BP traslati di v(-1,-1)? se si (e ank se no) mi puoi spiegare xk meta determinate della matrice mi da l'area?
http://www.matematicamente.it/forum/mat ... 32419.html
Re: Senior 2002 G3
Ah allora non ho capito cosa intendi per vettori AP e PB. Sono andato a vedere sul link k dicevi e non ho capito qual è la formula. Oronte83 ne dice una con matrice 3x3. Franced dice che è il modulo del det della matrice della parte lineare( che è la parte senza i termini noti vero?) dell'affinita che è una 2x2. quindi non ho capito.. delucidazioni?
Re: Senior 2002 G3
@paga92aren: ho trovato ank io A e B uguali ai tuoi e ank i loro inversi uguali ai tuoi pero l area del triangolo nell'ellisse mi viene diversa. non è k tu hai diviso quella del cerchio per due?
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paga92aren
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Re: Senior 2002 G3
Sì mi sembra che il determinante della matrice venga 2 (o più semplicemente se dimezzo l'asse Y e la scio invariato quello X) l'area dimezza.ardroc ha scritto:@paga92aren: ho trovato ank io A e B uguali ai tuoi e ank i loro inversi uguali ai tuoi pero l area del triangolo nell'ellisse mi viene diversa. non è k tu hai diviso quella del cerchio per due?