problema facile
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Trovare tutte le soluzioni di x^2-y^2=2xyz
Ciao!
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Re: problema facile
interi positivi? z sicuro non debba essere primo?
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: problema facile
scusate interi qualsiasi. e z non necessariamente primo.
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- Iscritto il: 31 lug 2010, 10:35
Re: problema facile
Soluzione: (è passato poco tempo quindi la nascondo)
Testo nascosto:
Re: problema facile
Dato che ci sono posto anche la mia:
Testo nascosto:
<<Se avessi pensato (se pensassi) che la matematica è solo tecnica
e non anche cultura generale; solo calcolo e non anche filosofia,
cioè pensiero valido per tutti, non avrei fatto il matematico (non
continuerei a farlo)>> (Lucio Lombardo Radice, Istituzioni di
Algebra Astratta).
Mathforum
$ \displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^s} $
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Re: problema facile
Occhio che l'implicazione è che $ x|y^2 $ e che $ y|x^2 $ che potrebbe essere soddisfatta anche da coppie come (2,4). Comunque si aggiusta tutto piuttosto agevolmente.matty96 ha scritto:...perciò $x|y$ e $y|x$...
Re: problema facile
Ok, se non ho notato male questo caso corrisponde a dire $x^2=y$ e $y^2=x$, ma dato che devono valere conteporaneamente, allora $x=y=0$.Giusto?
<<Se avessi pensato (se pensassi) che la matematica è solo tecnica
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Re: problema facile
No. Ad esempio prendi la coppia (4,8)matty96 ha scritto:Ok, se non ho notato male questo caso corrisponde a dire $x^2=y$ e $y^2=x$
Re: problema facile
Allora stai prendendo in cosiderazione le coppie dell forma $(2^n,2^{n+1})$.Se è cosi', otteniamo questo: $\frac{2^{2n}}{2^{2n+2}}=z+1$ che è impossibile
Edit:in più ho notato che $x+y \geq -1$.Perciò se si analizza il caso x+y=-1 a mano si può risolvere il problema parlando soltanto di interi non negativi, cosi è più semplice.
Infatti possiamo ricavare che $2y=\frac{x}{z}-\frac{y^2}{zx}$, ma dato che $x|y$ significa che $x \leq y$ ma se $y>x$ allora è impossibile perchè andiamo nei negativi
Edit:in più ho notato che $x+y \geq -1$.Perciò se si analizza il caso x+y=-1 a mano si può risolvere il problema parlando soltanto di interi non negativi, cosi è più semplice.
Infatti possiamo ricavare che $2y=\frac{x}{z}-\frac{y^2}{zx}$, ma dato che $x|y$ significa che $x \leq y$ ma se $y>x$ allora è impossibile perchè andiamo nei negativi
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Re: problema facile
Non va ancora bene. Prova a ragionare bene sulle condizioni $ x|y^2 $ e $ y|x^2 $: sono proprio tante le coppie che la soddisfano!matty96 ha scritto:Allora stai prendendo in cosiderazione le coppie dell forma $(2^n,2^{n+1})$.
Re: problema facile
Credo di esserci.Allora, spiego meglio l'edit.Sappiamo che $x|y^2$ e $y|x^2$ perciò $x \leq y^2$ e $y \leq x^2$, quindi $x-y \leq y^2-x^2 \to -1 \leq x+y$.
Pongo $x+y=-1$ ottenendo $y+x=2xyz$ che è impossibile.Ora risolvo il resto considerando solo gli interi non negativi.Riscrivo l'equazione iniziale come $2y=\frac{x}{z}-\frac{y^2}{zx}$.Ora so che $x|y^2$,ma ciò significa che $x \leq y^2$ che non (inquesto caso(se $x|y^2 allora x|y$))è possibile negli interi non negativi, tranne se vale l'uguaglianza
Pongo $x+y=-1$ ottenendo $y+x=2xyz$ che è impossibile.Ora risolvo il resto considerando solo gli interi non negativi.Riscrivo l'equazione iniziale come $2y=\frac{x}{z}-\frac{y^2}{zx}$.Ora so che $x|y^2$,ma ciò significa che $x \leq y^2$ che non (inquesto caso(se $x|y^2 allora x|y$))è possibile negli interi non negativi, tranne se vale l'uguaglianza
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Re: problema facile
potrei dire una cavolata ma nell ' ultima disuguaglianza hai assunto implicitamente che $ y>x $ e penso che tu debba fare anche l'altro caso.matty96 ha scritto:Credo di esserci.Allora, spiego meglio l'edit.Sappiamo che $ x|y^2 $ e $ y|x^2 $ perciò $ x≤y^2 $ e $ y≤x^2 $, quindi $ x−y≤y^2−x^2→−1≤x+y $.
Re: problema facile
Allora se $x>y$ allora $x+y \leq -1$. Notiamo che $(x+y)(x-y)$ è sempre positivo,quindi se x e y sono negativi, si avrà $x^2-y^2$ negativo,quindi non va bene.Quando invece x positivo e y negativo,abbiamo per l'uguaglianza che $x<-y-1$ che è falso.Non sono sicuro di questo ultimo pezzo
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