Staffetta 5: punti medi di diagonali

[paga92aren]

Dato un quadrilatero i cui prolungamenti dei lati opposti si incontrano in E e in F, dimostrare che il punto medio di EF è allineato con i punti medi delle diagonali.

[sasha™]

Allora, sia $ABCD$ il quadrilatero, $E$ l'intersezione di $AB$ e $CD$, $F$ di $AD$ e $BC$. Siano $P$, $Q$, $R$ i punti medi di $AC$, $BD$ e $EF$ rispettivamente.
Siano $A'$, $B'$, $F'$ i punti medi di $BF$, $AF$ e $AB$ rispettivamente.

Noto che la congiungente i punti medi dei lati di un triangolo è parallela al terzo lato, sappiamo che, per Talete, $\frac{F'P}{PB'}=\frac{BC}{CF}$, $\frac{A'Q}{QF'}=\frac{FD}{DA}$, $\frac{B'R}{RA'}=\frac{AE}{EB}$. Ma, per il teorema di Menelao sul triangolo $ABF$ e la retta per $C$, $D$, $E$, il loro prodotto vale $-1$, quindi, per lo stesso teorema sul triangolo $A'B'F'$, $P$, $Q$ ed $R$ sono allineati.

[paga92aren]

Giusta, vai col prossimo problema.
allego la mia soluzione.

[sasha™]

Ok, ora ci penso...

[Anér]

EDIT: il prossimo problema è qui

In un vecchio argomento del forum comparve una forma generalizzata del problema, per cui le tre circonferenze di diametri AC, BD, EF hanno un asse radicale in comune su cui si trovano gli ortocentri dei 4 triangoli formati da 3 delle 4 rette del quadrilatero completo (le rette AB, BC, CD, DA).

[Sonner]

Rispondo alla generalizzazione (questa dimostrazione è famosa, vorrei sapere se come l'ho scritta si capisce, visto che ho notato che nelle dimostrazioni sono spesso esageratamente criptico).

Fatto: in un triangolo tre circonferenze che hanno per diametri tre ceviane che partono una per vertice hanno H come centro radicale.
Dim: ABC triangolo, D su BC, allora ($ H_A $ piede dell'altezza da A) $ AH_AD=90° $ quindi $ H_A $ sta sulla circonferenza per ogni D, quindi l'altezza da A è asse radicale di ogni circonferenza di quel tipo. Ciclando sugli altri due lati si trova che H intersezione delle altezze è dunque intersezione degli assi radicali, quindi è centro radicale.

Ora il problema vero.
Non sto a metter lettere che tanto farei solo casino...
Considero due delle tre circonferenze con le diagonali per diametri, per il lemma di sopra queste avrebbero assi radicali passanti per gli ortocentri dei 3 triangoli di cui le diagonali sono ceviane, ma questo è impossibile a meno che gli ortocentri non siano allineati. Ripetendo il ragionamento per un'altra coppia di circonferenze si ottiene che gli ortocentri sono allineati e che gli assi radicali coincidono (nella retta per gli ortocentri). I centri delle tre circonferenze, ossia i punti medi delle diagonali, sono quindi allineati e la retta per essi è perpendicolare a quella degli ortocentri.

Editato: senza parole

[Anér]

Ricontrolla perché usi concetti come asse radicale di una circonferenza e centro radicale di due circonferenze.