All'art. 11 dice: "In hoc igitur exemplo X [che è una funzione, prima definita come $ X=x^3-8x+6 $] neque $ \equiv0 $, neque $ \equiv2 $ (mod5) fieri potest, multoque minus =0, aut =2. Unde sequitur, aequationes $ x^3-8x+6=0 $ et $ x^3-8x+4=0 $ per numeros integros et proin, uti notum est, per numeros rationales solvi non posse."
La cosa più o meno vuol dire (se ho tradotto giusto, cosa da non dare per scontata): "Quindi in questo esempio $ X=x^3-8x+6 $ non può essere né $ \equiv0 $ né $ \equiv2 $ (mod 5), e in particolare = 0 o = 2. Da questo segue che le equazioni $ x^3-8x+6=0 $ e $ x^3-8x+4=0 $ per numeri interi e, di conseguenza, per i numeri razionali non possono essere risolte."
Poco più avanti dice (sempre che vi fidiate della mia traduzione
): "In generale è evidente che l’equazione X=0, quando X è una funzione di incognita x, in forma $ x^n+Ax^{n-1}+Bx^{n-2}+...+N $ dove A, B, C, ... sono interi e n è un intero positivo (risulta evidente che ogni equazione algebrica si può ridurre in questa forma) non ha nessuna radice razionale se per un qualche modulo la congruenza $ X\equiv0 $ non può essere soddisfatta."Ora, se la traduzione è corretta, per risolvere questo problema non basta analizzare le congruenze modulo 3 dell'equazione $ X=x^2+xy+y^2-2=0 $ e vedere che non si ha mai $ X\equiv0 (mod3) $? (basta farsi 6 casi, visto che alcuni si possono evitare di rifare visto che l'equazione è simmetrica rispetto a x e y)
ps: io sapevo usare questa cosa per verificare che un'equazione non ha soluzioni negli interi, ma non sapevo si potesse estendere ai razionali, è così nota?
per darti una risposta sicura