Fare 5 al superenalotto

[amatrix92]

Calcolare la probabilità di fare esattamente 5, giocando 8 numeri al superenalotto. Ricorso che a questo gioco vengono estratti 6 numeri vincenti tra i 90 su cui si può puntare.

Io e il mio professore non siamo d'accordo. A me viene

Testo nascosto:

$ \displaystyle \frac {\binom {8}{5} \cdot 82}{\binom {90}{6}} $

Dopo che qualcuno prova a risolverlo scrivo anche il ragionamento.

[staffo]

Estraggono i numeri; i casi totali delle tue possibili puntate sono $ \binom{90}{8} $ ; i casi favorevoli sono quelli in cui cinque numeri sono fissati tra 6, gli altri tre numeri li devi scegliere tra i restanti meno uno (quello che farebbe il sei).

Quindi la probabilità è $\frac{\binom{84}{3}\binom{6}{5}}{\binom{90}{8}}$

[amatrix92]

Estraggono i numeri; i casi totali delle tue possibili puntate sono $ \binom{90}{8} $ ; i casi favorevoli sono quelli in cui cinque numeri sono fissati, gli altri tre numeri li devi scegliere tra i restanti meno uno (quello che farebbe il sei).

Quindi la probabilità è $\frac{\binom{84}{3}}{\binom{90}{8}}$

mmm, non riesco a capire se sbagli (non è detto che tu sie in errore eh) però non riesco nemmeno a capire i miei errori: ho provato 2 soluzioni:

Sol 1
Tutte le possibili sestine che possono uscire sono $ \binom {90}{6} $ . Per trovare quelle che vanno bene a me considero tutte le sestine in cui ce ne sono 5 che mi vanno bene e 1 che non mi va bene; le 5 che mi vanno bene le posso scegliere liberamente in un insieme di 8 (giù determinato in precedenza), mentre l'altra rimanente la posso scegliere in un insieme di $ 90 -8 = 82 $ da cui la formula sopra.

Sol 2
Considero separatamente i 6 eventi di estrazione: al primo evento la probabilità di beccare un numero da me giocato è di $ \displaystyle \frac {8}{90} $ al secondo è di $ \displaystyle \frac {7}{89} $, al terzo è di $ \displaystyle \frac{6}{88} $ al quarto $ \displaystyle \frac {5}{87} $ al quinto $ \displaystyle \frac {4}{86} $ e al sesto considera la probabilità che NON mi venga uno dei 3 numeri "buoni" che mi sono rimasti ovvero: $ \displaystyle \frac {82}{85} $. Con tutto questo però ho ordinato io i vari eventi, quindi devo considerare le permutazioni dell'ordine degli eventi che sono $ 6 $. Quindi $ \displaystyle p(5) = \frac {8}{90} \cdot \frac {7}{89}\cdot \frac{6}{88} \cdot \frac {5}{87} \cdot \frac {4}{86} \cdot \frac {82}{85} \cdot 6 $

[paga92aren]

al sesto considera la probabilità che NON mi venga uno dei 3 numeri "buoni" che mi sono rimasti ovvero: $ \displaystyle \frac {3}{86} $.

mi sembra sbagliato, forse intendevi $\frac {83}{86}$

[Valenash]

Non sono d'accordo con staffo, anche se effettivamente ora mi sta venendo qualche dubbio anche a me..poichè la seconda soluzione di amatrix non mi convince, ma la prima mi pare giusta.
I casi totali sono logicamente $ \binom {90}{8}$.
Per calcolare i casi favorevoli, immaginiamo di scegliere dapprima gli 8 numeri e poi i 6 numeri fortunati, dunque ci sono $ \binom {90}{8}$ modi di scegliere gli 8 numeri, poi $8 \cdot 7\cdot6\cdot5\cdot4$ modi di sceglierne 5 tra 8 e 82 modi di scegliere il sesto tra i rimanenti 82, dato che questi son quindi contati con ordine, dividiamo per $5!$ modi di scegliere i cinque numeri tra gli 8 dati, da cui si ottiene alla fine la stessa formula scritta da amatrix:
$\displaystyle \frac {\binom {8}{5} \cdot 82}{\binom {90}{6}}$

[staffo]

Nella mia dimostrazione mancava un per 6 (perchè i primi 5 numeri fissati li posso scegliere in sei modi, sarebbe $\binom{6}{5}$, perchè sono sei i numeri vincenti); così torna uguale..... (me lo ero perso per strada)

[amatrix92]

al sesto considera la probabilità che NON mi venga uno dei 3 numeri "buoni" che mi sono rimasti ovvero: $ \displaystyle \frac {3}{86} $.

mi sembra sbagliato, forse intendevi $\frac {83}{86}$

Sì certo ovviamnte scusate. Edito

[fph]

Di questo di solito non si parla perché si dà per scontato, ma la prima cosa da capire in un esercizio di probabilità è "qual è lo spazio di probabilità", ovvero quali sono i diversi eventi che possono verificarsi. In questo caso gli otto numeri giocati sono fissati (e per simmetria potreste anche assumere che siano 1,2,3,...8 ), e i diversi eventi che si possono verificare sono i numeri che vengono estratti --- perché è su quelli che non abbiamo controllo, è lì che c'è l'elemnto casuale (o probabilistico, o non deterministico, se non vi piace questo aggettivo).
Quindi in tutte le soluzioni che partono dicendo "scegliamo 8 numeri tra 90" c'è qualche problema concettuale --- perché il sistema che volete modellizzare è un'estrazione di sei numeri, non di otto. Poi potete cercare di fare qualche trucco e modificare il problema in modo che diventi davvero del tipo "scegliamo 8 numeri tra 90", ma se non avete chiara l'idea base rischiate solo di confondervi. Si capisce l'idea o non sono sufficientemente chiaro?

[amatrix92]

Di questo di solito non si parla perché si dà per scontato, ma la prima cosa da capire in un esercizio di probabilità è "qual è lo spazio di probabilità", ovvero quali sono i diversi eventi che possono verificarsi. In questo caso gli otto numeri giocati sono fissati (e per simmetria potreste anche assumere che siano 1,2,3,...8 ), e i diversi eventi che si possono verificare sono i numeri che vengono estratti --- perché è su quelli che non abbiamo controllo, è lì che c'è l'elemnto casuale (o probabilistico, o non deterministico, se non vi piace questo aggettivo).
Quindi in tutte le soluzioni che partono dicendo "scegliamo 8 numeri tra 90" c'è qualche problema concettuale --- perché il sistema che volete modellizzare è un'estrazione di sei numeri, non di otto. Poi potete cercare di fare qualche trucco e modificare il problema in modo che diventi davvero del tipo "scegliamo 8 numeri tra 90", ma se non avete chiara l'idea base rischiate solo di confondervi. Si capisce l'idea o non sono sufficientemente chiaro?

Sì credo che si capisca, effetivamente è un problema che non mi ero proprio posto. Ma non è solo un fatto come dire "meta-matematico" ? Cioè se inverto la consecuzio temporum degli eventi, prima faccio le estrazioni e poi fisso i 6 numeri e poi ne scelgo a caso 8, Il problema è lo stesso cambia solo un po' l'astrazione mentale che ce ne facciamo.

[fph]

Ma non è solo un fatto come dire "meta-matematico" ? Cioè se inverto la consecuzio temporum degli eventi, prima faccio le estrazioni e poi fisso i 6 numeri e poi ne scelgo a caso 8, Il problema è lo stesso cambia solo un po' l'astrazione mentale che ce ne facciamo.

In questo caso funziona perché è tutto equiprobabile --- difatti per esempio la tua "soluzione 2" fa proprio un trucco di quel tipo per fissare gli 8 numeri e poi estrarne 6, e funziona. In fondo il problema di base è un problema simmetrico che coinvolge l'"estrazione" di 6 numeri e di altri 8 indipendentemente: qual è la probabilità che due sottoinsiemi di 8 e 6 elementi, scelti con probabilità uniforme, abbiano intersezione di 5 elementi?
Però in generale la probabilità che si verifichi B supponendo A e la probabilità che si verifichi A supponendo B non sono uguali --- vedi teorema di Bayes. Facendo le "scelte" in un ordine diverso, le probabilità possono cambiare.

[staffo]

certo, questo è vero se i due eventi non sono disgiunti, ma se un evento non dipende dall'altro non credo cambi, potresti fare un esempio per smontarmi subito ?

alla fine questo problema a livello concettuale potrebbe anche vedersi come "estrazione e scelta numeri coincidono", quindi indipendentemente se scegli uno o l'altro non cambia.

[fph]

Giusto, il problema si verifica è solo se i due eventi non sono indipendenti. In questo caso lo sono, quindi nessun problema --- non volevo smontare nessuno, solo assicurarmi che fosse chiaro quello che hai appena detto.