Staffetta 46: Minimo

[amatrix92]

Siano $x,y,z \in \mathbb R$ tali che $x^2+y^2+z^2 = 1$ determinare il minimo valore di $ xy+yz+zx $

Sono ben accette soluzioni di ogni tipo ma meno sono elementari più devono essere formali

[Valenash]

Poniamo $x + y + z = k$, e $xy + yz + xz = j$ ora abbiamo che:
$(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy +2xz +2zy$
E quindi, sapendo che: $x^2 + y^2 + z^2=1$ e $xy + yz + xz = j$,
$(x + y + z)^2 = 1 + 2 \cdot j $
E poi: $k^2 = 1 + 2 \cdot j$ da cui ricaviamo $j$, che è la quantità che vogliamo minimizzare:
$j = \frac {k^2 - 1}{2}$.
Facciamo la derivata di $\frac {k^2 - 1}{2}$ e poniamola uguale a 0 in modo da avere un minimo (se per valori minori di k la derivata è negativa e per valori maggiori è positiva), risulta quindi:
$\frac {2k}{2}=0 -> k=0$
Controlliamo che sia effettivamente un minimo: se $k=-1$, abbiamo: $\frac {2k}{2} = \frac {2 \cdot(-1)}{2} = -1$, ok.
Pertanto: $x + y + z = k = 0$ e $x^2 + y^2 + z^2=1$, se vogliamo avere $xy + yz + xz $ minimo.
Torniamo a sostituire ora nell'equazione $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy +2xz +2zy$, otteniamo: $ (0) ^2 = 1 + 2 j $ da cui $j = - \frac {1}{2}$.
Concludiamo mostrando un esempio in cui ciò si verifica, ad esempio ponendo $z=0$, $x= \frac {1}{\sqrt2}$ e $y= -\frac {1}{\sqrt2}$, da cui otteniamo $x + y + z = 0$ e $x^2 + y^2 + z^2=1$, inoltre $xy + yz + xz = - \frac {1}{2}$.
Spero vada bene =)

EDIT: mi ero dimenticato un passaggio, ora l'ho aggiunto. Dovrebbe essere completa adesso (e spero anche giusta =P).

[amatrix92]

Ok ora va bene.
Ti faccio notare due cose:

1) Avresti potuto concludere al 5° rigo dicendo $ (x+y+z)^2 = 1+2j \geq 0 \implies 2j \geq -1 \implies j \geq - \frac{1}{2} $ che è dunque il minimo

2) Volendo arrivare al passaggio successivo non c'è bisogno di derivate, hai una parabola.

Per il resto è corretto vai pure col prossimo

[Valenash]

Ok ora va bene.
Ti faccio notare due cose:

1) Avresti potuto concludere al 5° rigo dicendo $ (x+y+z)^2 = 1+2j \geq 0 \implies 2j \geq -1 \implies j \geq - \frac{1}{2} $ che è dunque il minimo

2) Volendo arrivare al passaggio successivo non c'è bisogno di derivate, hai una parabola.

Per il resto è corretto vai pure col prossimo

1) me ne son accorto ripensandoci dopo dato che l'avevo fatto di fretta, e dunque senza stare a pensare troppo una derivata risolveva il problema del minimo subito XD

2) idem

posto il prossimo problema entro qualche giorno, sono alla vigilia dello spettacolo della compagnia teatrale e non ho due minuti liberi neanche a pagarli oro =)

[Valenash]

Scusate se ho fatto passare tanto tempo, ma non ho trovato nessun problema carino da postare nella staffetta.
Dunque, se qualcuno ha un problema interessante e vuole proporlo, può postarlo come problema 47 della Staffetta di algebra.

P.S. se nel frattempo ne trovo uno lo inserisco =)

[Mike]

Avrei una "soluzione" (se così si può dire) alternativa: l'equazione rappresenta una sfera di raggio 1. noi trasliamo il problema in una circonferenza ($ x^2+y^2=1 $)e ci chiediamo il massimo di $ xy $. In funzione dell'angolo $ \alpha $ abbiamo che $ xy $ vale $ \sin\alpha \cos\alpha = \frac{\sin2\alpha}{2} $ il cui minimo è $ -\frac{1}{2} $, a 45 gradi.
Nella sfera possiamo congetturare che sia lo stesso, come in effetti è. 45 gradi.
Esiste un teorema o simili che permette di passare da circonferenza a sfera dando la certezza di non far variare il risultato?