Riemann Competition (Maggio)

[LukasEta]

E direi un 42/42 a jordan

[staffo]

nelle soluzioni in cui non funziona il LaTeX, tipo la mia, non si vedono le frazioni. O forse è solo un problema mio?

[Drago96]

nelle soluzioni in cui non funziona il LaTeX, tipo la mia, non si vedono le frazioni. O forse è solo un problema mio?

In effetti la mia frazione non c'è...

Comunque queste sono le mie soluzione TeXate...

Es.1
Innanzitutto, noto che valgono tutti i $b=a$, perchè, per le proprietà delle potenze, $a^2a^2+aa^2+1=a^4+a^3+1$ .
Inoltre valgono anche tutti gli $a=0$ .
ora noto che $a^4+a^3+1$ non ha radici intere, il che sifnifica che riscrivendolo come $(a-k) q(a)$, il primo fattore non è intero. Perciò non esiste nessun polinomio che moltiplicato per un intero dia $a^4+a^3+1$ .
quindi $a^2b^2+ab^2+1$ non può essere suo divisore.


Es.3
La prima cosa da fare è scomporre in fattori primi 2336; perciò $2336=73 \cdot 2^5$

Innanzitutto noto che $x=y=z$ è impossibile: infatti verrebbe $2^x = {2336 \over 3}$ , ma ${2336 \over 3} \not \in \mathbb{N}$

Allora provo a raccogliere $2^x$ : $2^x(1 + 2^{y-x} + 2^{z-x}) = 2336$

Quindi $73 \cdot 2^{5-x} = 1 + 2^{y-x} + 2^{z-x}$

Ma ciò è impossibile, perchè un dispari * pari (la potenza di 2) = pari ; e pari - 1 = dispari (perchè porto a sinistra l'1)

Allora l'unica alternativa è che $x=5$ , perciò $2^{y-5} + 2^{z-5} = 72$

Ora scompongo, $72 = 3^2 \cdot 2^3$

Stesso ragionamento di prima, quindi $y-x = 3$ e $2^{z-y} = 8$

Da qui ottengo che $x = 5 , y = 8 , z = 11$

Verifico che $2^5 + 2^8 + 2^{11} = 32 + 256 + 2048 = 2336$

Perciò l'unica soluzione è $(5,8,11)$

[staffo]

allora metto anche le mie:

2) chiamo $2a=k$ (per comodità).
Eseguo la divisione e ottengo $k^b+k^{b-1}+...+k+1$
Analizzo le congruenze $mod 8$.
Fino a $k^3$ tutti i residui (essendo k pari) sono 0.
Ora se $k$ è divisibile per $4$ e non per $8$, allora $k^2\equiv0$ e $k+1\equiv5$, quindi il residuo totale è $5$, che $mod 8$ non è residuo quadratico.
Se $k$ è divisibile per $2$ e non per $8$, con lo stesso ragionamento arrivo a dire che tutto quel polinomio lì è congruo a $7$, che non è un residuo quadratico $mod 8$.
Quindi $8|k$ e questo implica $4|a$.

3)pongo WLOG $x\geq y\geq z$.
Allora posso scrivere $2^z(2^{x-z}+2^{y-z}+1)$. di questi due fattori, il secondo non è divisibile per $2$, allora tutti i fattori due di $2336$ ($2^5\cdot 73$) devono essere contenuti in $2^z$, quindi $z=5$.
Allora ottengo $2^{x-5}+2^{y-5}=72$. raccolgo ancora $2^{y-5}(2^{x-y}+1)=72$. stesso ragionamento di prima mi porta a dire $y-5=3$ cioè $y=8$.
A questo punto ottengo $2^{x-8}=8$, cioè $x=11$.
Le soluzioni sono $(5,8,11)$ e permutazioni.

5)$x$ e $y$ devono avere la stessa parità, quindi differiranno, almeno, di due.
Voglio minimizzare la differenza dei cubi. Siccome $x$ e $y$ differiscono almeno di due, pongo $x=y+2$.
Ottengo (con dovute semplificazioni) $5y^2+16y=0$. Trasportandolo in disuguaglianza, essendo $x$ e $y$ interi positivi, ottengo che il membro di sinistra è sempre maggiore del membro di destra (e questo è vero perchè, minimizzando la differenza di cubi, ho al contempo massimizzato il prodotto $xy$), e quindi $x^3-y^3>xy+8$, e di conseguenza non ci sono soluzioni.

6)Gli esponenti di $a$ e di $b$ sono pari, quindi posso scomporre quella differenza di quadrati come: $(a^{2^{b-1}}-b^{2^{a-1}})(a^{2^{b-1}}-b^{2^{a-1}})=2$ essendo due un numero primo, allora uno dei due dovrà essere uguale ad uno, e l'altro uguale a due. ovviamente la differenza, essendo minore della somma, deve essere uguale ad 1, e l'altra deve essere uguale a 2. Chiamo $a^{2^{b-1}}=A$ e $b^{2^{a-1}}=B$, ottengo dunque:
$A-B=1$ e $A+B=2$, che implica $B=\frac{1}{2}$ e $A=\frac{3}{2}$, ma, essendo $A$ e $B$ delle potenze di interi, esse devono essere intere, quindi non ci sono soluzioni.

[jordan]

Non ho nulla da fare quindi guardiamo un po' di soluzioni..

Es.1
Innanzitutto, noto che valgono tutti i $b=a$, perchè, per le proprietà delle potenze, $a^2a^2+aa^2+1=a^4+a^3+1$ .
Inoltre valgono anche tutti gli $a=0$ .
ora noto che $a^4+a^3+1$ non ha radici intere, il che sifnifica che riscrivendolo come $(a-k) q(a)$, il primo fattore non è intero. Perciò non esiste nessun polinomio che moltiplicato per un intero dia $a^4+a^3+1$ .
quindi $a^2b^2+ab^2+1$ non può essere suo divisore.

Cosa c'entra il fatto che $ a^4+a^3+1 $ non ha radici intere (che tra l'altro non hai dimostrato) col fatto che $a^2b^2+ab^2+1\nmid a^4+a^3+1$ ?

Es.3
La prima cosa da fare è scomporre in fattori primi 2336; perciò $2336=73 \cdot 2^5$

Innanzitutto noto che $x=y=z$ è impossibile: infatti verrebbe $2^x = {2336 \over 3}$ , ma ${2336 \over 3} \not \in \mathbb{N}$

Allora provo a raccogliere $2^x$ : $2^x(1 + 2^{y-x} + 2^{z-x}) = 2336$

Quindi $73 \cdot 2^{5-x} = 1 + 2^{y-x} + 2^{z-x}$

Ma ciò è impossibile, perchè un dispari * pari (la potenza di 2) = pari ; e pari - 1 = dispari (perchè porto a sinistra l'1)

Allora l'unica alternativa è che $x=5$ , perciò $2^{y-5} + 2^{z-5} = 72$

Ora scompongo, $72 = 3^2 \cdot 2^3$

Stesso ragionamento di prima, quindi $y-x = 3$ e $2^{z-y} = 8$

Da qui ottengo che $x = 5 , y = 8 , z = 11$

Verifico che $2^5 + 2^8 + 2^{11} = 32 + 256 + 2048 = 2336$

Perciò l'unica soluzione è $(5,8,11)$

Ti sei dimenticato che hai usato l'ipotesi (non esplicita) che $x\le y\le z$ (infatti ti sei saltato tutte le permutazioni..)

[jordan]

2) chiamo $2a=k$ (per comodità).
Eseguo la divisione e ottengo $k^b+k^{b-1}+...+k+1$
Analizzo le congruenze $mod 8$.
Fino a $k^3$ tutti i residui (essendo k pari) sono 0.
Ora se $k$ è divisibile per $4$ e non per $8$, allora $k^2\equiv0$ e $k+1\equiv5$, quindi il residuo totale è $5$, che $mod 8$ non è residuo quadratico.
Se $k$ è divisibile per $2$ e non per $8$, con lo stesso ragionamento arrivo a dire che tutto quel polinomio lì è congruo a $7$, che non è un residuo quadratico $mod 8$.
Quindi $8|k$ e questo implica $4|a$.

Potevi scriverla un po' meglio, ma va bene..

3)pongo WLOG $x\geq y\geq z$.
Allora posso scrivere $2^z(2^{x-z}+2^{y-z}+1)$. di questi due fattori, il secondo non è divisibile per $2$, allora tutti i fattori due di $2336$ ($2^5\cdot 73$) devono essere contenuti in $2^z$, quindi $z=5$.
Allora ottengo $2^{x-5}+2^{y-5}=72$. raccolgo ancora $2^{y-5}(2^{x-y}+1)=72$. stesso ragionamento di prima mi porta a dire $y-5=3$ cioè $y=8$.
A questo punto ottengo $2^{x-8}=8$, cioè $x=11$.
Le soluzioni sono $(5,8,11)$ e permutazioni.

Questa va bene anche..

5)$x$ e $y$ devono avere la stessa parità, quindi differiranno, almeno, di due.
Voglio minimizzare la differenza dei cubi. Siccome $x$ e $y$ differiscono almeno di due, pongo $x=y+2$.
Ottengo (con dovute semplificazioni) $5y^2+16y=0$. Trasportandolo in disuguaglianza, essendo $x$ e $y$ interi positivi, ottengo che il membro di sinistra è sempre maggiore del membro di destra (e questo è vero perchè, minimizzando la differenza di cubi, ho al contempo massimizzato il prodotto $xy$), e quindi $x^3-y^3>xy+8$, e di conseguenza non ci sono soluzioni.

Ci spieghi perchè "minimizzando la differenza di cubi, al contempo massimizzi il prodotto"?

6)Gli esponenti di $a$ e di $b$ sono pari, quindi posso scomporre quella differenza di quadrati come: $(a^{2^{b-1}}-b^{2^{a-1}})(a^{2^{b-1}}-b^{2^{a-1}})=2$ essendo due un numero primo, allora uno dei due dovrà essere uguale ad uno, e l'altro uguale a due. ovviamente la differenza, essendo minore della somma, deve essere uguale ad 1, e l'altra deve essere uguale a 2. Chiamo $a^{2^{b-1}}=A$ e $b^{2^{a-1}}=B$, ottengo dunque:
$A-B=1$ e $A+B=2$, che implica $B=\frac{1}{2}$ e $A=\frac{3}{2}$, ma, essendo $A$ e $B$ delle potenze di interi, esse devono essere intere, quindi non ci sono soluzioni.

Hai risolto solo un caso, il testo chiedeva $a,b \in \mathbb{Z}$..

[Valenash]

3)Trovare tutte le terne di interi positivi $ x, y, z $ tali che $ 2^x + 2^y + 2^z=2336 $

giusto per trovare una soluzione elegante, al posto dei conti, si poteva scomporre 2336 in base due ottenendo:

$2336_{10} = 100100100000_2$, da cui arrivava subito la soluzione $x=5$, $y=8$, $z=11$ e tutte le simmetriche

[staffo]

No, ero convinto interi positivi, ma l'hai corretto dopo o era dall'inizio interi tutti?

Massimizzo il prodotto perchè, va beh, fissata la somma di x e y quando si minimizza il modulo della differenza di x e y si massimizza il prodotto, va beh, quella mi pare abbastanza brutta anche a me...

[jordan]

PROBLEMA 2
Il testo indica la somma di una progressione geometrica e può equivalentemente essere scritto così: (2a)b+(2a)b−1+...+(2a)+1=k2⟺(2a)b+...+2a=(k+1)(k−1) . Posso raccogliere un 2 nel LHS da cui ricavo che (k+1)(k−1) è pari, ma ciò avviene se e solo se k e dispari e in questo caso (k+1)(k−1) è chiaramente multiplo di 8 in quanto prodotto di 2 numeri pari consecutivi dicui uno sicuramente multiplo di 4. Abbiamo quindi semplificando un 2 che (2a)b2+(2a)b−12+...+2a2+a=(k+1)(k−1)2 , cioè la progressione di termini tutti pari e un termine a uguale ad un termine pari, quindi a pari. Ma con a pari abbiamo una progressione di tutti termini multipli di 4 tranne a che è solo pari uguale ad un multiplo di 4, quindi a multiplo di 4.

Dovresti usare il Latex, almeno per le soluzioni sul forum (non compare nè l'^ per esponente, nè il / per le frazioni..). Ad ogni modo anche se non hai nominato i residui quadratici, l'idea è equivalente..

PROBLEMA 3
L'unica soluzione è x=11 y=8 z=5 e cicliche
L'eq. è simmetrica quindi pongo Wlog x≥y≥z
Ovviamente x,y,z≤11 perchè 212=4096
Se x= 10 ottengo 2z+2y=2336−1024=1312 da cio essendo y≥z ottengo y=10 e rimane 2z=1312−1024=288 che è impossibile in N.
Se x≤9 allora 22+2y+2z vale al massimo 29⋅3=1536.
Se x=11 allora 2z+2y=2336−2048=288;
A questo punto in questa equazione abbiamo che se y≤7 allora 2z+2y vale al massimo 27⋅2=256.
Se invece y≥9 è impossibile visto che 29=512, quindi y=8 da cui si ricava z=5.

(L'ho letta velocemente) Va bene, ma le soluzioni sono (11,8,5) e simmetriche (le cicliche sono solo 3 in totale)..

PROBLEMA 5
Non ci sono soluzioni
Ovviamente x>y.
x2−y3=2(xy+4)⟹y=x−2k
Se k=0⟹0=8 assurdo
Se k=1⟹x3−(x−2)3=2(x−2)x+8⟺x2−2x=0⟺x=0∨x=2 ma essendo x,y>0 queste soluzioni vanno escluse.
Se k=2⟹x3−(x−4)3=2x(x−4)+8⟺5x2−20x+28=0 da cui Δ=202−28⋅20<0
e che quindi non ha soluzioni ed è sempre maggiore di 0.
Nella forma generale y=x−2k viene: x3−(x−2k)3=2(x−2k)x+8⟺
⟺8k3−4kx+6kx2=8−2x2−12k2x⟺4k3+2kx+3kx2−4−x2−6k2x=0
Ora voglio dimostrare che per ogni k>2 , 4k3+2kx+3kx2−4−x2−6k2x>0.
Con k=2 abbiamo visto che non ci sono soluzioni e che è sempre maggiore di 0, quindi se dimostrassi che f(x)=4k3+2kx+3kx2−4−x2−6k2x>0 per ogni k>2 avrei finito.
Wolfram mi dice che è vero ma non saprei bene come dimostrarlo.

Risolvere solo i casi $k=0,1,2$ non è esattamente una soluzione, ma credo questo lo sai già..

PROBLEMA 6
Non ci sono soluzioni
a2b−b2a=2⟺(a2b−1+b2a−1)(a2b−1−b2b−1)=2 da cui essendo 2 un numero primo, ed essendo i 2 fattori uno chiaramente maggiore dell'altro si ricava
(a2b−1+b2a−1)=2
(a2b−1−b2b−1)=1
Analizzando il primo, essendo 2 esponenziali sono strettamente maggiori di 0, quindi devono essere entrambi uguali a 1. a2b−1=1 e b2a−1 ma, un esponenziale è uguale a 1 solo quando l'esponente è uguale a 0, ma essendo l'esponente a sua volte una funzione esponenziale non può mai essere uguale a 0 da cui l'assurdo.

Stesso errore di staffo..

[jordan]

giusto per trovare una soluzione elegante, al posto dei conti, si poteva scomporre 2336 in base due ottenendo:$2336_{10} = 100100100000_2$, da cui arrivava subito la soluzione $x=5$, $y=8$, $z=11$ e cicliche

Non cicliche.. Comunque è quello che ho scritto alla mia soluzione, ma ci devi aggiungere che se $\prod_{cyc}{x-y}=0$ allora quell'equazione non ha soluzione in $\mathbb{N}$..

Massimizzo il prodotto perchè, va beh, fissata la somma di x e y quando si minimizza il modulo della differenza di x e y si massimizza il prodotto, va beh, quella mi pare abbastanza brutta anche a me...

Allora, sia $ x+y:=k>0 $ la somma fissata. Il prodotto si massimizza con $x=y=\frac{k}{2}$ per am-gm; $x^3-y^3$ si minimizza con $x=0,y=k$, se aggiungi il vincolo $x\ge y$ allora lo minimizzi a $0$ con $x=y=\frac{k}{2}$. Ci spieghi meglio?

[Valenash]

giusto per trovare una soluzione elegante, al posto dei conti, si poteva scomporre 2336 in base due ottenendo:$2336_{10} = 100100100000_2$, da cui arrivava subito la soluzione $x=5$, $y=8$, $z=11$ e cicliche

Non cicliche.. Comunque è quello che ho scritto alla mia soluzione, ma ci devi aggiungere che se $\prod_{cyc}{x-y}=0$ allora quell'equazione non ha soluzione in $\mathbb{N}$..

per il cicliche infatti ho editato..
ma non ho capito l'altro passaggio, la condizione che hai posto.. puoi spiegare cosa intendi??

[jordan]

PROBLEMA 3
$2^x+2^y+2^z=2336=2^5\cdot 73$
Divido tutto per $2^5$ ed ottengo:
$2^a+2^b+2^c=73$ , con $a=x-5, b=y-5, c=z-5$
Se i 3 addendi sono tutti pari, cioè se $a,b,c\geq 1$, non ottengo soluzioni in quanto RHS è dispari.
Mi rimane il caso in cui qualcuno tra $a,b,c$ è uguale a 0, ottenendo così uno o più addendi dispari (e più precisamente uguali a 1) che mi sistemino la parità. D'altra parte devo avere un numero dispari di addendi dispari, cioè o 1 o 3 addendi dispari. Ma il caso con 3 addendi dispari è da scartare, in quanto otterrei $1+1+1=73$ che mi dà un'identità falsa. RImane il caso in cui uno tra $2^a,2^b,2^c =1$.
Suppongo WLOG che $2^c=1$ e quindi $c=0$: allora ottengo $2^a+2^b=72$. Le uniche soluzioni $(a,b)$ che ne derivano sono $(6,3)(3,6)$, in quanto almeno uno tra $a$ e $b$ deve essere maggiore di 5 (altrimenti potrei ottenere al massimo $32+32<72$) , ma chiaramente sia $a$ che $b$ sono minori di 7, quindi uno tra i 2 deve essere 6 da cui deriva che l'altro è 3.
Riciclo il ragionamento supponendo che $2^a=1$ e poi che $2^b=1$ : allora le terne di soluzioni $(a,b,c)$ che complessivamente ottengo sono:
$(0,6,3);(0,3,6);(3,0,6);(6,0,3);(3,6,0);(6,3,0);$ le cui corrispettive terne $(x,y,z)$ sono: $(5,11,8);(5,8,11);(8,5,11);(11,5,8);(8,11,5);(11,8,5)$

Bene

PROBLEMA 5
5)Trovare tutte le coppie di interi positivi $ x, y $ tali che $ x^3-y^3=2xy+8 $.
A) Suppongo $x\geq y$, quindi $x=d+y$.
Sostituisco:
$(d+y)^3-y^4=2(d+y)y+8$ . Da cui
$(3d-2)y^2+yd(3d-2)+d^3=8$
Da questa ottengo che $d\leq 2$, cioè $d=0,1,2$.
Sostituendo i 3 possibili valori per la $d$, non ottengo alcun valore intero positivo per la $y$ .
B) Suppongo che $y\geq x$ cioè $y=x+d$
Sostituisco e ottengo:
$(3d+2)x^2+(3d+2)x+d^3=-8$
Siccome $d$ è positivo, non ci sono valori interi positivi ammissibili per la $x$.
Non ci sono soluzioni all'equazione... (almeno spero xD)

Bene anche questa

PROBLEMA 6
Trovare tutte le coppie di interi a e b tali che $a^{2^b}-b^{2^a}=2$
Si dimostrerà che le uniche coppie di soluzioni $(a,b)$ sono : $(2,0);(0,-2);(9,-1)$.
A)Supponiamo che $a,b$ entrambe $\geq 1$: allora gli esponenti $2^b$ e $2^a$ sono entrambi pari,e sfruttando il prodotto notevole posso riscrivere l'equazione come $(a^{2^{b-1}}+b^{2^{b-1}})(a^{2^{b-1}}-b^{2^{a-1}})=2$. Siccome le basi stesse sono maggiori o uguali a 1, $(a^{2^{b-1}}+b^{2^{b-1}})>(a^{2^{b-1}}-b^{2^{a-1}})$ per ogni $a,b\geq 1$, e siccome il prodotto dei due fattori deve darmi 2, l'unica combinazione possibile è $(a^{2^{b-1}}+b^{2^{b-1}})=2, (a^{2^{b-1}}-b^{2^{a-1}})=1$.
Svolgendo il sistema ottengo $b^{2^{a-1}}=2^{-1}$ che non è verificata per nessuna $b$ intera, pertanto il sistema non ha soluzioni intere: non ci sono quindi soluzioni per nessuna $a,b$ entrambe $ \geq 1$.
B)Supponiamo ora che $a,b$ entrambi$ \leq -1$, e chiamiamo $a=-m$, $b=-n$ con $m,n$ interi positivi.
Allora non può esistere il termine $a^{2^b}$ : infatti $a^{2^b}=-m^{2^{-k}}=-m^{\frac {1}{2^k}}=\sqrt[2^k]{-m}$ che non esiste nei reali.
C) Supponiamo adesso che $a$ sia positivo e $b$ sia negativo (quindi entrambi diversi da 0), e chiamiamo $b=-n$ con $n$ intero positivo.
Allora : $a^{2^b}-b^{2^a}=a^{\frac {1}{2^n}}-(-n^{2^a})=a^{\frac {1}{2^n}}-n^{2^a}=2$.
Notando che $a^{\frac {1}{2^n}}>n^{2^a}$ solo per $n=1$ e $a>1$, ottengo la coppia di soluzioni $(a,n)$-> $(9,1)$ , da cui deriva la coppia $(a,b)$->$(9,-1)$
D) Supponiamo adesso che $a$ sia negativo e $b$ sia negativo (quindi entrambi diversi da 0), e chiamiamo $a=-m$ con $m$ intero positivo.
Allora: $a^{2^b}-b^{2^a}=-m^{2^b}-b^{\frac {1}{2^m}}=m^{2^b}-b^{\frac {1}{2^m}}=2$. Con un ragionamento analogo al precedente, mi accorgo che non esistono soluzioni intere in questo caso.
E) Rimane infine il caso in cui almeno uno tra $a$ e $b$ è uguale a 0. Per prova diretta , sostituendo 0 ad $a$ e a $b$ ottengo le soluzioni $(2,0);(0,-2)$

Mi spieghi meglio solo questo "Notando che $a^{\frac {1}{2^n}}>n^{2^a}$ solo per $n=1$ e $a>1$, ottengo la coppia di soluzioni $(a,n)$-> $(9,1)$ , da cui deriva la coppia $(a,b)$->$(9,-1)$"?

[jordan]

giusto per trovare una soluzione elegante, al posto dei conti, si poteva scomporre 2336 in base due ottenendo:$2336_{10} = 100100100000_2$, da cui arrivava subito la soluzione $x=5$, $y=8$, $z=11$ e cicliche

Non cicliche.. Comunque è quello che ho scritto alla mia soluzione, ma ci devi aggiungere che se $\prod_{cyc}{x-y}=0$ allora quell'equazione non ha soluzione in $\mathbb{N}$..

per il cicliche infatti ho editato..
ma non ho capito l'altro passaggio, la condizione che hai posto.. puoi spiegare cosa intendi??

$\prod_{cyc}{(x-y)}=0$ sse almeno due variabili sono uguali..

[Valenash]

$\prod_{cyc}{(x-y)}=0$ sse almeno due variabili sono uguali..

Questo l'avevo capito, ma non ho capito perchè è necessario porre tale condizione.. cioè, ho 3 uni nella rappresentazione in base due del numero, logicamente essendo ognuno degli addendi uno di quegli uni, essi son tutti diversi..

[amatrix92]

Le soluzione le avevo scritte in Latex ma poi con il copiare il messaggio il Latex è evidentemente morto.
LukasEta mi spieghi come da $ (3d-2)y^2 + yd(3d-2)+d^3 = 8 $ arrivi a dire $ d\leq 2 $ ? Cioè mi sembra quasi identica alla mia come soluzione, solo che io ho fatto notare che non sapevo come dimostrare rigorosamente che mi andavano bene solo i $ k\leq 2 $, tu invece non te ne sei prorpio preoccupato e lo hai dato per scontato