Siano date 2 circonferenze $ \Gamma_1 $ e $ \Gamma_2 $ secanti nei punti $ P $ e $ Q $. Sia $ R $ un punto di $ \Gamma_1 $, si tracci le rette $ PR $ e $ RQ $ che intersecheranno $ \Gamma_2 $ rispettivamente nei punti $ S $ e $ Q $. Si provi che $ SQ $ è parallela alla tangente in $ R $ di $ \Gamma_1 $.
Mi è sembrato carino. Io ho inoltre trovato una soluzione tramite affinità e geometria analitica che dato che ho imparato da pochissimo questa tecnica risolutiva metto questa soluzione nascosta (che comunque non brucia la soluzione sintetica) e ringrazio chiunque abbia voglia di controllare se è corretta sia come concetti che come formalismo.
Testo nascosto:
Considero i punti $ P $ , $ R $ e $ Q $. So che esiste una affinità che manda questi 3 punti nei punti $ P' ( 0 ; 1) $ $ Q' ( 0 ; -1) $ $ R' ( 1 ; 0 ) $ . La circonferenza per questi tre punti sarà chiaramente $ \Gamma_1^': x^2+y^2=1 $. Metre $ \Gamma_2^' $ sarà una circonferenza con centro sull'asse x dato che l'asse radicale ($ PQ $) è sempre perprendicolare alla congiungente dei centri e con ascissa $ -k $ e raggio quindi per pitagora $ \sqrt{k^2+1} $. La sua equazione svolgendo i conti sarà dunque $ x^2+2kx+k^2+y^2= k^2+1 \iff x^2+y^2+2kx=1 $. Le retta $ RP $ diventa la retta $ y=-x+1 $ e la retta $ RQ $ diventa la retta $ y=x-1 $. Intersecando queste due rette con $ \Gamma_2^' $ si ottengono due equazioni identiche visto che $ x^2+(x-1)^2+2kx-1 = x^2 + (-x+1)^2 +2kx -1 $ che identificano i punti $ S $ e $ T $ ovvero $ x=0 \vee x=1-k $. Se questi due punti stanno per certo o entrambi nella retta $ x=0 $ o entrambi nella retta $ x=1-k $ (ricordiamo k positivo) allora di sicuro la retta che congiunge $ S $ e $ T $ sarà di questa forma, ovvero parallela all'asse y. Vediamo però che la tangente a $ \Gamma_1^' $ in $ R $ è chiaramente $ x=1 $, quindi queste due rette sono parallele.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
amatrix92 ha scritto:
Considero i punti $ P $ , $ R $ e $ Q $. So che esiste una affinità che manda questi 3 punti nei punti $ P' ( 0 ; 1) $ $ Q' ( 0 ; -1) $ $ R' ( 1 ; 0 ) $ . La circonferenza per questi tre punti sarà chiaramente $ \Gamma_1^': x^2+y^2=1 $.
L'affinità, in generale, non manda circonferenze in circonferenze (prova a trovarti la trasformata di una circonferenza)... quindi non puoi dire che la circonferenza per $PQR$ va nella circonferenza per $P'Q'R'$.
"Il bon ton è la grazia del saper vivere, la leggerezza dell' esistere." (Lina Sotis, perfidamente elegante)
no certo, però so che esiste una affinità che mi manda i primi 3 punti in altri 3 punti. E poi so per certo che esiste una circonferenza per i punti immagine visto che non sono allineati. Quindi so che esiste una affinità che mi manda la prima circonferenza nell'immagine che ho trovato.. certo so che non è detto che l'immagine di una circonferenza debbe essere per forza una circonferenza e non un ellisse però posso assumere che accada.. no?
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
amatrix92 ha scritto:no certo, però so che esiste una affinità che mi manda i primi 3 punti in altri 3 punti. E poi so per certo che esiste una circonferenza per i punti immagine visto che non sono allineati. Quindi so che esiste una affinità che mi manda la prima circonferenza nell'immagine che ho trovato.. certo so che non è detto che l'immagine di una circonferenza debbe essere per forza una circonferenza e non un ellisse però posso assumere che accada.. no?
No, non puoi, perchè l'affinità è completamente fissata dalle 3 coppie di punti.
Comunque direi che è passato abbastanza tempo per scrivere la soluzione sintetica
Testo nascosto:
Sia X un punto sulla tangente dalla parte di P. $XRP\cong RQP\cong \pi-PQT\cong PST$, quindi $ST//RX$.
