Cesenatico 95 - 5

[amatrix92]

Due cerchi non complanari nello spazio sono tangenti in un punto e hanno le stesse tangenti in questo punto. Si dimostri che entrambi i cerchi giaciono su una qualche sfera.

[Mist]

Chiamiamo $\Gamma _1$ e $\Gamma _2$ i due cerchi, $O_1$ e $O_2$ i due centri rispettivamente di $\Gamma _1$ e $\Gamma _2$ e $P$ il loro punto comune. Siano inoltre $P_1$ e $P_2$ i punti diametralmente opposti a $P$ su $\Gamma _1$ e $\Gamma _2$. La tesi equivale a dimostrare che tracciate le due rette perpendicolari $r_1$ e $r_2$ ai piani sui cui giacciono $\Gamma _1$ e $\Gamma _2$ passanti rispettivamente per $O_1$ e $O_2$, queste rette si incontrano in un punto $T$ tale che $TO_1 = TO_2$. Costruito il piano passante per $P, O_1$ e $O_2$ si nota subito che $r_1$ e $r_2$ sono gli assi rispettivamente di $PO_1$ e $PO_2$ e che quindi, essendo $PO_1$ e $PO_2$ non collineari in quanto appartenenti a cerchi non complanari, esiste un punto $T= r_1 \cap r_2$ che è equidistante quindi da $P,P_1$ e $P_2$. Ma quindi $T$ è equidistante da ogni punto di $\Gamma _1$ e $\Gamma _2$ in quanto ogni distanza di $T$ da un generico punto di $\Gamma _1$ e $\Gamma _2$ è pari all'ipotenusa di un triangolo rettagolo di cateti $TO_1$ o $TO_2$ e rispettivamente $PO_1$ o $PO_2$. Si ha insomma che $T$ è il centro di una sfera a cui appartengono $\Gamma _1$ e $\Gamma _2$.