Quando dici che non hai soluzioni è sottinteso modulo 10, giusto?
Presumo di sì quindi vado avanti: per dire che non ci sono soluzioni fai la radice quadrata e imponi che $n$ sia naturale.
Ragionando modulo 10 si ha che $5\equiv 25 \mod 10$ da cui la soluzione $n\equiv 5 \mod 10$. Ricordati che quando usi il modulo sei in $\mathbb{Z_n}$ che è un'anello quindi non sempre esiste l'inverso della moltiplicazione e la radice quadrata spesso non è unica!!!
$4a^3+5$ quadrato perfetto
Re: $4a^3+5$ quadrato perfetto
Hai ragione...
ho ancora molto da imparare...
Devo provare un'altra strada allora..
ho ancora molto da imparare...
Devo provare un'altra strada allora..
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: $4a^3+5$ quadrato perfetto
Prendendo spunto (molto spunto...) dalla soluzione dell'esercizio 5 di cese 2011,provo a farlo allo stesso modo.
Ripartiamo dal fatto che $n$ è dispari, allora lo chiamo $2k+1$(seguendo il consiglio di drago96 ).
Da qui arrivo a $a^3=k^2+k-1$, quindi $(a+1)(a^2-a+1)=k(k+1)$, e da qui distinguiamo 2 casi:
1° caso $k|(a+1)$
Avremo che $a+1=mk$ per $m$ intero positivo,e $m(a^2-a+1)=k+1$.
Ricavo $k$ dalla prima e lo metto nella seconda, arriverò a $m^2a^2-am^2+m^2-a-m-1=0$ e pongo ora il delta uguale ad un quadrato perfetto.
Ora non scrivo la dimostrazione,anche perchè è un po' arzigogolata,ma mi viene che gli unici valori possibili di $m$ sono $0$ e $1$.
Da qui ricavo $a$ che può essere $1$ o $-2$.
2°caso $k|a^2-a+1$
Avremo che $a^2-a+1=mk$ per $m$ intero positivo, e $m(a+1)=k+1$. Anche qui ricavo $k$ dalla seconda e lo metto nella prima, arriverò a $a^2-a-am^2-m^2+m+1=0$, anche qui non scrivo la dimostrazione, ma mi viene che l'unico valore possibile di $m$ è $-3$, ricavando di nuovo $a$ stavolta viene uguale a $-1$ oppure $11$.
Avendo trovato tutti i possibili valori di $a$ torniamo a prima: $a^3=k^2+k-1$.
Sosti tuendo ad $a$ i suoi valori vediamo che i valori accettabili di $k$ sono:$(0,-1,1,-2,-36,37)$, di conseguenza i valori di $n$ sono:$(1,-1,3,-3,73,-73)$.
Da qui abbiamo tutte le soluzioni...
$(a,n)=(-1,1),(-1,-1),(1,3),(1,-3),(11,73),(11,-73)$.
La mia speranza è sempre quella... di averci azzeccato
Ripartiamo dal fatto che $n$ è dispari, allora lo chiamo $2k+1$(seguendo il consiglio di drago96 ).
Da qui arrivo a $a^3=k^2+k-1$, quindi $(a+1)(a^2-a+1)=k(k+1)$, e da qui distinguiamo 2 casi:
1° caso $k|(a+1)$
Avremo che $a+1=mk$ per $m$ intero positivo,e $m(a^2-a+1)=k+1$.
Ricavo $k$ dalla prima e lo metto nella seconda, arriverò a $m^2a^2-am^2+m^2-a-m-1=0$ e pongo ora il delta uguale ad un quadrato perfetto.
Ora non scrivo la dimostrazione,anche perchè è un po' arzigogolata,ma mi viene che gli unici valori possibili di $m$ sono $0$ e $1$.
Da qui ricavo $a$ che può essere $1$ o $-2$.
2°caso $k|a^2-a+1$
Avremo che $a^2-a+1=mk$ per $m$ intero positivo, e $m(a+1)=k+1$. Anche qui ricavo $k$ dalla seconda e lo metto nella prima, arriverò a $a^2-a-am^2-m^2+m+1=0$, anche qui non scrivo la dimostrazione, ma mi viene che l'unico valore possibile di $m$ è $-3$, ricavando di nuovo $a$ stavolta viene uguale a $-1$ oppure $11$.
Avendo trovato tutti i possibili valori di $a$ torniamo a prima: $a^3=k^2+k-1$.
Sosti tuendo ad $a$ i suoi valori vediamo che i valori accettabili di $k$ sono:$(0,-1,1,-2,-36,37)$, di conseguenza i valori di $n$ sono:$(1,-1,3,-3,73,-73)$.
Da qui abbiamo tutte le soluzioni...
$(a,n)=(-1,1),(-1,-1),(1,3),(1,-3),(11,73),(11,-73)$.
La mia speranza è sempre quella... di averci azzeccato
I tuoi problemi te li puoi anche tenere: a me, invece, non dispiacerebbe avere un camper come questo !
Re: $4a^3+5$ quadrato perfetto
Mi sembra ti manchi il caso in cui k non divide nessuno dei due fattori ma (ovviamente) divide il prodotto (ad esempio $ 6\mid 4\cdot 9 $ ma 6 non divide nè 4 nè 9).
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Re: $4a^3+5$ quadrato perfetto
Non vorrei demotivarvi, ma ho chiesto in giro e nessuno è riuscito a trovare una dimostrazione elementare di ciò. Il massimo che ho ottenuto è sapere che le soluzioni sono in numero finito.
Re: $4a^3+5$ quadrato perfetto
Lo sospettavo,comunque come avete già notato(mi pare) l'avevo tirato fuori dal cesenatico n°5 di quest'anno.
Soluzione. L'equazione da risolvere è $4a^3+5=b^2$; si vede facilmente che $b$ è dispari. Se è dunque $b:=2c+1$ l'equazione diventa $c^2+c=a^3+1$, che sotto il cambio di variabile $ c:=d-\dfrac 1 2 $ si trasforma come \[ d^2=a^3+\frac 5 4 \] ovvero, moltiplicata per $64$, $64d^2=64a^3+80$. Dopo la sostituzione $y:=8d$ e $x:=4a$ l'equazione è \[ y^2=x^3+80 \] che descrive una curva di Mordell. È ben noto che quella presa in considerazione ha come uniche soluzioni intere $(x, y)=(4, \pm 12), (-4, \pm 4), (1, \pm 9), (44, \pm 292)$, ma di queste solo alcune danno valori accettabili -per parità e segno- per $a$, e corrispondono alle soluzioni $(a, b)=(1, \pm 3), (11, \pm 73)$. I valori possibili di $a$ sono dunque $1$ e $11$.trugruo ha scritto:Trovare tutti gli interi positivi $a$ tali che $4a^3+5$ sia un quadrato perfetto.
Re:
oddio leggendo questo ho riflettuto sul fatto che la filosofia degli ultimi 100 anni avrebbe dovuto occuparsi della definizione della parola noto<enigma>² ha scritto: l'equazione è \[ y^2=x^3+80 \] che descrive una curva di Mordell. È ben noto che quella presa in considerazione ha come uniche soluzioni intere $(x, y)=(4, \pm 12), (-4, \pm 4), (1, \pm 9), (44, \pm 292)$