Si consideri una n+1-upla $\displaystyle (x_1,x_2,x_3, \dots x_n, x_{n+1} = x_1)$ di reali positivi. Trovare le due costanti $c_1(n)$ e $c_2(n)$ in funzione di $n$ tali che
$\displaystyle c_1(n) \leq \sum_{a=1}^{n} \frac{x_a}{x_a +x_{a+1}}\leq c_2(n)$
Non è difficile, nessuno si spaventi per il modo in cui l'ho messa giù ...
Tra due costanti
Tra due costanti
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
Re: Tra due costanti
Chiamo S la somma del testo. Allora vale 1<S<n-1.
Parte 1: $ c_1(n)=1 $ e non vale mai il segno di uguaglianza.
Dimostrazione: $ S > \sum_{a=1}^{n} \frac{x_a}{x_1+\dots +x_n}=1 $. D'altro canto, scegliendo $ x_1=0 $ e $ x_a=k^{a-2} $ per a>0 si vede che, se k tende a infinito, tutti i singoli pezzi tendono a 0 tranne l'ultimo che fa sempre 1.
Parte 2: $ c_2(n)=n $ e non vale mai il segno di uguaglianza.
Dimostrazione: $ S= \sum_{a=1}^{n}1- \frac{x_{a+1}}{x_a+x_{a+1}}=n-S' $, dove S' funziona come S (è sempre ciclica, solo nell'ordine contrario) e quindi è al massimo 1. Quindi S<n-1.
Parte 1: $ c_1(n)=1 $ e non vale mai il segno di uguaglianza.
Dimostrazione: $ S > \sum_{a=1}^{n} \frac{x_a}{x_1+\dots +x_n}=1 $. D'altro canto, scegliendo $ x_1=0 $ e $ x_a=k^{a-2} $ per a>0 si vede che, se k tende a infinito, tutti i singoli pezzi tendono a 0 tranne l'ultimo che fa sempre 1.
Parte 2: $ c_2(n)=n $ e non vale mai il segno di uguaglianza.
Dimostrazione: $ S= \sum_{a=1}^{n}1- \frac{x_{a+1}}{x_a+x_{a+1}}=n-S' $, dove S' funziona come S (è sempre ciclica, solo nell'ordine contrario) e quindi è al massimo 1. Quindi S<n-1.
Re: Tra due costanti
ho alcune cosette da dire:
-prima cosa, se non vale mai il segno di uguaglianza, come fai a dire che siano proprio le costanti migliori da scegliere (penso che il problema chieda la massima $c_1$ e la minima $c_2$, se no non avrebbe molto senso
-seconda cosa, la prima non dipende da $n$, e soprattutto c'è un controesempio che la rende non valida, considera una 1-upla (si può dire
), essa da come somma $\frac{1}{2}$, che è minore di 1. Anche una 2-upla da come somma proprio $1$...
-prima cosa, se non vale mai il segno di uguaglianza, come fai a dire che siano proprio le costanti migliori da scegliere (penso che il problema chieda la massima $c_1$ e la minima $c_2$, se no non avrebbe molto senso
-seconda cosa, la prima non dipende da $n$, e soprattutto c'è un controesempio che la rende non valida, considera una 1-upla (si può dire
), essa da come somma $\frac{1}{2}$, che è minore di 1. Anche una 2-upla da come somma proprio $1$...[tex]\Lambda \eta \delta r \epsilon \alpha[/tex]
Re: Tra due costanti
Provo a rispondere, magari ho preso una cantonata (algebra non mi piace per niente! 
):
1) ho dimostrato che non posso arrivarci ma che posso avvicinarmi quanto voglio a 1 e n-1;
2) effettivamente i casi piccoli me li ero persi, infatti la dimostrazione falla per 2 elementi (con un 1 elemento non ce n'è visto che non si riesce manco a scrivere una frazione). Al posto del maggiore dovrei mettere maggiore o uguale nel caso 2 elementi insomma.
):1) ho dimostrato che non posso arrivarci ma che posso avvicinarmi quanto voglio a 1 e n-1;
2) effettivamente i casi piccoli me li ero persi, infatti la dimostrazione falla per 2 elementi (con un 1 elemento non ce n'è visto che non si riesce manco a scrivere una frazione). Al posto del maggiore dovrei mettere maggiore o uguale nel caso 2 elementi insomma.
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Re: Tra due costanti
Giusto, ma poni $x_a=k^{a-1}$ altrimenti hai dei problemi per $a=1$ (dividi per zero)Sonner ha scritto: Parte 1: $ c_1(n)=1 $ e non vale mai il segno di uguaglianza.
Dimostrazione: $ S > \sum_{a=1}^{n} \frac{x_a}{x_1+\dots +x_n}=1 $. D'altro canto, scegliendo $ x_1=0 $ e $ x_a=k^{a-2} $ per a>0 si vede che, se k tende a infinito, tutti i singoli pezzi tendono a 0 tranne l'ultimo che fa sempre 1.
Attento hai dimostrato che ti puoi avvicinare a $1$ non a $n-1$!!!Sonner ha scritto:Provo a rispondere, magari ho preso una cantonata (algebra non mi piace per niente!
1) ho dimostrato che non posso arrivarci ma che posso avvicinarmi quanto voglio a 1 e n-1;
Ma si fa quasi allo stesso modo...
Devi spiegare perché $S'$ funziona come $S$, la sommatoria non è simmetrica quindi conviene spenderci due parole...Sonner ha scritto: Parte 2: $ c_2(n)=n $ e non vale mai il segno di uguaglianza.
Dimostrazione: $ S= \sum_{a=1}^{n}1- \frac{x_{a+1}}{x_a+x_{a+1}}=n-S' $, dove S' funziona come S (è sempre ciclica, solo nell'ordine contrario) e quindi è al massimo 1. Quindi S<n-1.
Re: Tra due costanti
da $0 < \displaystyle \frac{x_a}{x_a +x_{a+1}} < 1$ segue che $0 < \displaystyle \sum_{a=1}^{n}\frac{x_a}{x_a +x_{a+1}} < n$ quindi boh scelgo $c_1(n)=-123456789$ e $c_2(n)=5n$
Re: Tra due costanti
Non va bene il testo chiede maggiore uguale, non maggiore stretto.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Tra due costanti
ma a dire il vero questa è una generalizzazione di un problema a tre variabili che avevo risolto allenandomi, l'uguale l'ho messo solo in quanto pensavo che valesse anche per il caso generale...
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
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Re: Tra due costanti
ma il testo non chiede mica il minimo $c_2(n)$ e il massimo $c_1(n)$ che soddisfa quella roba 
Re: Tra due costanti
Effettivamente credo che andrebbe specificato, comunque era quasi ovvio che intendesse quello.
