Una bisettrice nascosta
Una bisettrice nascosta
Sia $AB$ un triangolo rettangolo isoscele e sia $M$ il punto medio dell'ipotenusa $AB$. Siano $D$ e $E$ punti sui cateti $AC$ e $BC$, rispettivamente, tali che $AD=2DC$, $EB=2CE$. Sia $F$ il punto di intersezione tra $AE$ e $DM$. Si dimostri che $FC$ è la bisettrice dell'angolo $\hat{DFE}$.
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
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Re: Una bisettrice nascosta
Posto quello che ho fatto.
Costruisco l'altezza MH al triangolo AMC. $ MH \cong \displaystyle\frac{AC}{2} $. Costruisco $ MT \cong MD $, in modo tale che $ CD \cong DT \cong AT $ $ => $ $ DH \cong \displaystyle\frac{EC}{2} $.
I triangoli HDM e ECA sono simili con rapporto 2.
Ricavo quindi che $ \widehat{EFD} \cong 90 $
Il quadrilatero EFCD è quindi ciclico perchè ha due angoli opposti supplementari.
Corretto finora?
Potreste darmi un hint su come continuare?
Non so se sia utile, ma ho notato che quel quadrilatero è un quarto di quadrato e CF la diagonale e quindi bisettrice, ma non so se è corretto.
Costruisco l'altezza MH al triangolo AMC. $ MH \cong \displaystyle\frac{AC}{2} $. Costruisco $ MT \cong MD $, in modo tale che $ CD \cong DT \cong AT $ $ => $ $ DH \cong \displaystyle\frac{EC}{2} $.
I triangoli HDM e ECA sono simili con rapporto 2.
Ricavo quindi che $ \widehat{EFD} \cong 90 $
Il quadrilatero EFCD è quindi ciclico perchè ha due angoli opposti supplementari.
Corretto finora?
Potreste darmi un hint su come continuare?
Non so se sia utile, ma ho notato che quel quadrilatero è un quarto di quadrato e CF la diagonale e quindi bisettrice, ma non so se è corretto.
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »
Re: Una bisettrice nascosta
hai detto ceh $EFDC$ è ciclico e che $\hat{ECD}=\hat{EFD} = \frac{\pi}{2}$. Prova a vedere dove va a cascare la bisettrice di $\hat{EFD}$ se tracci un cerchio intorno a quel quadrilatero e poi dimmi... (ricorda che $EC=CD$) 
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Re: Una bisettrice nascosta
La bisettrice diventa la base di un triangolo isoscele che ha per lati i raggi che toccano $C$ ed $F$ ; è questo?Mist ha scritto:hai detto ceh $EFDC$ è ciclico e che $\hat{ECD}=\hat{EFD} = \frac{\pi}{2}$. Prova a vedere dove va a cascare la bisettrice di $\hat{EFD}$ se tracci un cerchio intorno a quel quadrilatero e poi dimmi... (ricorda che $EC=CD$)
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Una bisettrice nascosta
Forse ci sono. 
Si formano ben 2 coppie di triangoli simili.
In particolare $ EFR $ ed $ CDR $, le diagonali di un quadrilatero ciclico sono infatti sempre in proporzione, questi due triangoli hanno due lati in propozione e l'angolo compreso uguale e quindi sono simili. In particolare hanno: $ \widehat{EFR} \cong \widehat{RDC} $.
Considero ora i triangoli $ ERC $ ed $ RFD $, essi hanno l'angolo opposto al vertice congruente ed i due lati che lo comprendono in proporzione. Sono simili ed in particolare hanno:$ \widehat{RFD} \cong \widehat{REC} $.
Il triangolo $ ECD $ è isoscele $ => $ $ \widehat{DEC} \cong \widehat{EDC} $.
Per la proprietà transitiva della congruenza abbiamo la tesi: $ \widehat{EFC} \cong \widehat{CFD} $
Per curiosità: da dove viene il problema?
Si formano ben 2 coppie di triangoli simili.
In particolare $ EFR $ ed $ CDR $, le diagonali di un quadrilatero ciclico sono infatti sempre in proporzione, questi due triangoli hanno due lati in propozione e l'angolo compreso uguale e quindi sono simili. In particolare hanno: $ \widehat{EFR} \cong \widehat{RDC} $.
Considero ora i triangoli $ ERC $ ed $ RFD $, essi hanno l'angolo opposto al vertice congruente ed i due lati che lo comprendono in proporzione. Sono simili ed in particolare hanno:$ \widehat{RFD} \cong \widehat{REC} $.
Il triangolo $ ECD $ è isoscele $ => $ $ \widehat{DEC} \cong \widehat{EDC} $.
Per la proprietà transitiva della congruenza abbiamo la tesi: $ \widehat{EFC} \cong \widehat{CFD} $
Per curiosità: da dove viene il problema?
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Re: Una bisettrice nascosta
@Drago: non ho capito bene cosa intendi...
@Hawk: Molto bene
@Hawk: Molto bene
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