Minimizzare somma dei raggi/aree exinscritte

[Clara]

C'è un modo "semplice" per determinare il rapporto tra i lati che un triangolo (con area fissata) deve avere per avere minima la somma dei raggi delle exinscritte?
E per le aree?
Scusatemi se la domanda è stupida...

[<enigma>]

C'è un modo "semplice" per determinare il rapporto tra i lati che un triangolo (con area fissata) deve avere per avere minima la somma dei raggi delle exinscritte?
E per le aree?
Scusatemi se la domanda è stupida...

$ r_a+r_b+r_c=4R+r $. Così è già più semplice

[Clara]

Ehm... Perché?

[Mist]

Sostituisci $\displaystyle r_a = \frac{S}{p-a}$, $\displaystyle r= \frac{S}{p}$ e $\displaystyle R=\frac{abc}{4S}$, fai i contacci ricordandoti di Erone ( e magari prima sposti $r$ a sinistra) ed ecco il perchè di quel robo

[NoAnni]

Sostituisci $\displaystyle r_a = \frac{S}{p-a}$, $\displaystyle r= \frac{S}{p}$ e $\displaystyle R=\frac{abc}{4S}$, fai i contacci ricordandoti di Erone ( e magari prima sposti $r$ a sinistra) ed ecco il perchè di quel robo

Clara penso chiedesse come si dimostra quello che ha detto enigma

[Mist]

C'è un modo "semplice" per determinare il rapporto tra i lati che un triangolo (con area fissata) deve avere per avere minima la somma dei raggi delle exinscritte?
E per le aree?
Scusatemi se la domanda è stupida...

$ r_a+r_b+r_c=4R+r $. Così è già più semplice

appunto...

$$\displaystyle r_a+r_b+r_c=4R+r \rightarrow \frac{S}{p-a}+\frac{S}{p-b}+\frac{S}{p-c} -\frac{S}{p} = 4\frac{abc}{4S}$$
$$ \frac{p(p-b)(p-c) +p(p-a)(p-c) +p(p-a)(p-c)-(p-a)(p-b)(p-c)}{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \frac{abc}{S^2}$$
Ricordando che per la formula di Erone $S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, si ha che
$$ \frac{p(p-b)(p-c) +p(p-a)(p-c) +p(p-a)(p-c)-(p-a)(p-b)(p-c)}{S^2} = \frac{abc}{S^2}$$
$$2p^3-(a+b+c)p^2 +abc = abc$$
che è vero, e quindi la equazione iniziale è vera

[Clara]

Meraviglioso!
Grazie mille a tutti, gentilissimi come al solito!