Quadrati e successioni

[53thebest]

Sia $a_1 = a_2 = 1$ e $a_{n}=7 a_{n-1}-a_{n-2}$. Dimostrare che $a_n + a_{n+1} + 2$ è sempre un quadrato.

[Drago96]

Per ora ho fatto i conti...
Poi penso di provare a fare un'induzione, ma non ne sono troppo convinto...

Alla fine dei contacci...
$\displaystyle{a_n+a_{n+1}=\frac{(7+\sqrt{45})^n+(7-\sqrt{45})^n}{2^n}}$

Ora lavoriamo su questo: $(x+y)^n+(x-y)^n$
sviluppando il binomio si ha $\displaystyle{\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot x^{n-k}\cdot(y^k+(-y)^k)}$ (1)
da cui si vede subito che con k dispari si annulla il termine.
Quindi ponendo $h=n/2$ se n è pari e $h=\frac{n-1}{2}$ altrimenti si ha che (1) è $\displaystyle{2\cdot\sum_{k=0}^{2h}\binom{2h}{2k}\cdot x^{2h-2k}\cdot y^{2k}}$ e andando a sostituire i valori veri $\displaystyle{2\cdot\left(\sum_{k=0}^{2h}\binom{2h}{2k}\cdot 49^{h-k}\cdot 45^k\right)}$

[<enigma>²]

Sia $a_1 = a_2 = 1$ e $a_{n}=7 a_{n-1}-a_{n-2}$. Dimostrare che $a_n + a_{n+1} + 2$ è sempre un quadrato.

Soluzione. \[ a_n+a_{n+1}+2=\left ( \left ( \frac {3+\sqrt{5}} 2\right )^{n-1} +\left ( \frac 2 {3+\sqrt{5}} \right )^{n-1} \right ) ^2 .\] D'altra parte, l'espressione in parentesi si verifica facilmente essere un intero.

[Mist]

per questo però potevi usare il tuo nick normale

[patatone]

concordo col risultato di enigma. Però io non concluderei dicendo che è facile verificare che quella roba è un intero, perchè non mi sembra proprio banale verificarlo.... direi invece che essendo quelle le 2 soluzioni dell'equazione $x^2-3x+1=0$ quella roba rispetta la ricorrenza $x_{n+2}=3x_{n+1}-x_n$, e quindi poichè $x_1=2$ e $x_2=3$ tutti gli elementi della successione saranno interi (positivi).
Se si ha dimestichezza con le successioni e le formule chiuse il problema non è affatto difficile, quindi provateci a completare la parte mancante!
Hint (da usare solo come ultimissima spiaggia ):

Testo nascosto:

$\displaystyle\frac{7+3\sqrt 5}2=(\frac{3+\sqrt 5}{2})^2$

[stergiosss]

direi invece che essendo quelle le 2 soluzioni dell'equazione $x^2-3x+1=0$ quella roba rispetta la ricorrenza $x_{n+2}=3x_{n+1}-x_n$, e quindi poichè $x_1=2$ e $x_2=3$ tutti gli elementi della successione saranno interi (positivi).
Se si ha dimestichezza con le successioni e le formule chiuse il problema non è affatto difficile, quindi provateci a completare la parte mancante!
Hint (da usare solo come ultimissima spiaggia ):

Testo nascosto:

$\displaystyle\frac{7+3\sqrt 5}2=(\frac{3+\sqrt 5}{2})^2$

E se invece non si ha dimestichezza? Dove posso imparare qualcosa?

[stergiosss]

direi invece che essendo quelle le 2 soluzioni dell'equazione $x^2-3x+1=0$ quella roba rispetta la ricorrenza $x_{n+2}=3x_{n+1}-x_n$, e quindi poichè $x_1=2$ e $x_2=3$ tutti gli elementi della successione saranno interi (positivi).
Se si ha dimestichezza con le successioni e le formule chiuse il problema non è affatto difficile, quindi provateci a completare la parte mancante!
Hint (da usare solo come ultimissima spiaggia ):

Testo nascosto:

$\displaystyle\frac{7+3\sqrt 5}2=(\frac{3+\sqrt 5}{2})^2$

E se invece non si ha dimestichezza? Dove posso imparare qualcosa?

Nessuno?

[Drago96]

Prova qua
Alla fine della parte di algebra, prima degli esercizi...

[stergiosss]

Prova qua
Alla fine della parte di algebra, prima degli esercizi...

Grazie mille