Sia $f:\mathbb R\to\mathbb R$ una funzione continua e derivabile.
Sia $x_0\in\mathbb{R}$ un reale, definisco per ricorrenza $x_{n+1}=f(x_n)$.
Sapendo che la successione $x_i$ non è definitivamente costante e converge a $x\in\mathbb{R}$:
Mostrare che $x=f(x)$.
Che valori può assumere $f'(x)$?
p.s. (funge anche se si sostituisce a $\mathbb{R}$ un qualsiasi intervallo chiuso dei reali)
p.p.s. il primo punto è noto, il secondo l'ho mostrato oggi a scuola quindi, dati che non sono proprio una spada in analisi, può essere segato.
p.p.p.s. se ci sono altri risultati carini su queste cose chi li conosce li piazzi
Successioni del tipo $x_{n+1}=f(x_n)$ che convergono
Successioni del tipo $x_{n+1}=f(x_n)$ che convergono
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"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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Re: Successioni del tipo $x_{n+1}=f(x_n)$ che convergono
Rilanci:
1) e se $f$ fosse da $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{Q}$ si può dire la stessa cosa?
2) Data $f$ monotona e limitata allora la successione $x_{n+1}=f(x_{n})$ converge
1) e se $f$ fosse da $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{Q}$ si può dire la stessa cosa?
2) Data $f$ monotona e limitata allora la successione $x_{n+1}=f(x_{n})$ converge
Re: Successioni del tipo $x_{n+1}=f(x_n)$ che convergono
Che non si dica che sono contro i rilanci... ma insomma... non è che siano risultatoni
p.s. non voglio essere offensivo!
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Re: Successioni del tipo $x_{n+1}=f(x_n)$ che convergono
Be', ad esempio è bene tenere a mente che $\mathbb Q$ non è completo (rilancio 1).
PS. C'entra mica il teorema di Banach?
PS. C'entra mica il teorema di Banach?
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"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
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Re: Successioni del tipo $x_{n+1}=f(x_n)$ che convergono
Mi correggo... non è che non sono dei risultatoni, piuttosto hanno poco a che fare col problema. Sono entrambi fatti più generali di analisi che hanno a che fare solo con le successioni, non con le successioni per ricorrenza del prim'ordine.
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Re: Successioni del tipo $x_{n+1}=f(x_n)$ che convergono
Non direi Soprattutto perchè non lo conosco<enigma> ha scritto: PS. C'entra mica il teorema di Banach?
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Re: Successioni del tipo $x_{n+1}=f(x_n)$ che convergono
Se vuoi, sì: se in un intervallo la derivata è sempre $\leq 1-\varepsilon$, allora per ogni $x,y$ hai $|f(x)-f(y)| \leq (1-\varepsilon) |x-y|$ (perché?), che è la proprietà che ti serve davvero per dimostrare la convergenza (contrattività, Lipschitzianità). Però non è tutto così semplice, volendo fare le cose nell'ordine che ha detto dario2994 --- come lo trovi esplicitamente un intervallo tale che $f(I)\subseteq I$ e la derivata è minore di 1 su tutto l'intervallo? Il modo più semplice è partire supponendo di avere un punto fisso della funzione con derivata minore di 1...<enigma> ha scritto:Be', ad esempio è bene tenere a mente che $\mathbb Q$ non è completo (rilancio 1).
PS. C'entra mica il teorema di Banach?
A proposito, chiamalo "teorema del punto fisso di Banach" --- Banach ha fatto troppi teoremi, citare il suo nome non basta.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
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