$9p^2+4q^2-15pq$

[doiug.8]

Trovare tutte le coppie $ (p, q) $ di numeri primi tali che $ 9p^2+4q^2-15pq $ sia un quadrato perfetto.

[LeZ]

Metodo risolutivo abbastanza standard.
Riscrivo come $ (3p-2q-k)(3p-2q+k)=3pq $
Posso cosi impostare i vari sistemi in quanto $ p $ e $ q $ sono entrambi numeri primi. Nei calcoli ovviamente esplicito $ k $, che andrò a sostituire confrontando cosi prodotti tra due numeri primi ($ 3p=5q $). Dopo aver risolto tutti i sistemi, trovo le coppie di soluzioni: $ (5,3) ,(7,5), (23,5) $

[FrancescoVeneziano]

Rilancio: descrivere tutte le coppie di *interi* per cui quell'espressione è un quadrato.

[Claudio.]

Si riesce senza inoltrarsi in un bel po' di casi?

[FrancescoVeneziano]

Non ho fatto i calcoli fino in fondo, ma dovrebbe ottenersi una parametrizzazione polinomiale di tutte le (infinite) soluzioni.

[LeZ]

Trovo la soluzione in funzione di $ x $.
$ \Delta = 81y^2+36k^2 $ deve essere uguale ad un quadrato perfetto. Di conseguenza mi limito a trovare le soluzioni di $ 81y^2+36k^2=l^2 $
Necessariamente $ l=9l_1 $ da cui $ 9y^2+4k^2=9l_1^2 $. Ne segue che $ k=3k_1 $. Quindi $ y^2=l_1^2-4k_1^2 $
x= $ 15y \pm 9l_1 \over 18 $. Ma y non è altro che $ \sqrt{l_1^2-4k_1^2} $ da cui le soluzioni parametrizzate: $ x= {15\cdot \sqrt{l_1^2-4k_1^2} \pm 9l_1 \over 18} $ ; $ y=\sqrt{l_1^2-4k_1^2} $

Spero di non aver commesso errori grossolani

[Claudio.]

$ x= {15\cdot \sqrt{l_1^2-4k_1^2} \pm 9k_1 \over 18} $ ; $ y=\sqrt{l_1^2-4k_1^2} $

Non mi sembrano molto intere....

[LeZ]

Se la radice è intera, e ciò è possibile con opportune scelte di l e k, le soluzioni sono intere.

[Claudio.]

Scusami ma è proprio questo che chiede il problema, di determinare per quali opportune scelte sono intere ^^ Se alla diofantea iniziale avessi risposto come soluzione $(p,q)$, con opportune scelte di p e q $9p^2+4q^2-15pq$ è un quadrato, credi che sarebbe stata una soluzione soddisfacente?

[LeZ]

No, p e q erano soluzioni finite. Quindi si potevano ricavare tutte! Molto spesso le terne hanno infinite soluzioni e quindi vanno parametrizzate.

[Claudio.]

Non ci siamo capiti. Non è il problema che sono parametrizzate. Il problema è che è una diofantea, e le soluzioni devono essere intere. Quindi la tua soluzione scritta tramite parametro, deve essere intera per qualsiasi valore intero che il parametro assume al massimo in un itervallo...Che senso avrebbe allora? Potrei scrivere milioni di funzioni e dire che per valori opportuni funzionano...se proprio ci tieni puoi scriverle in quel modo e dopo specificare separatamente quali sono questi valori opportuni...
Esempio stupido: diofantea $3y-x=0$ da risolvere negli interi. Quello che hai fatto tu è questo $y=\frac x3$ quindi $(x, \frac x3)$ che per opportuni valori della x sono intere. In realtà le soluzioni parametriche corrette sono qualcosa come $(3n, n)$ per cui torvi le soluzioni andando a sostituire qualsiasi valore intero ad n.+
In ogni caso non è neanche vero che se la radice è intera quelle soluzioni sono intere...ti puoi accorgere poi che in questo modo non cambia nulla tra una diofantea ed una normalissima equazione, e inoltre che i tuoi passaggi sono totalmente inutili, potevi lasciare tutto tranquillamente in y e k no?

[LeZ]

Ho capito cosa dici, diciamo che i miei passaggi non sono cosi tanto inutili, potrebbero però rivelarsi buoni se trovo le terne che soddisfano $ a^2-b^2=4c^2 $ ; Se proprio vogliamo risolvere anche questa, (che è equivalente a scrivere $ a^2-b^2=(2c)^2 $), le soluzioni parametrizzate sono $ (2m^2+2n^2, 4mn, n^2-m^2) $. Quindi possiamo utilizzare per $ l_1 =2m^2+2n^2 $; per $ k_1=n^2-m^2 $. da cui $ x= {10mn \pm 3(m^2+n^2) \over 3} , y=4mn $ Resta solo la rogna della frazione per $ x $.

[kalu]

Rilancio: descrivere tutte le coppie di *interi* per cui quell'espressione è un quadrato.

$ 9a^2+4b^2-15ab=(3a-b)(3a-4b)=c^2 $.

Sia ($ 3a-b $, $ 3a-4b)=d $. Deve esistere allora una coppia di naturali coprimi ($ j, k $), con $ djk=c $, tali che:

$ \begin{cases} 3a-b=dj^2 \\ 3a-4b=dk^2\end{cases} $ $ \rightarrow $ $ \displaystyle \begin{cases} a= \frac{d(2j+k)(2j-k)}{9}\\ b= \frac{d(j+k)(j-k)}{3}\end{cases} $
Si può facilmente vedere che tali valori sono interi in tre casi:
a) $ 9 \mid d $
b) $ 3 \mid d $ e un valore fra $ (2j+k) $ e $ (2j-k) $ è multiplo di 3 (cioè 3 non divide nè $ j $ nè $ k $)
c) Un valore fra $ (j+k) $ e $ (j-k) $ è multiplo di 3 (cioè 3 non divide nè $ j $ nè $ k $) e un valore fra $ (2j+k) $ e $ (2j-k) $ è multiplo di 9 .

Quindi le coppie richieste sono tutte e sole quelle della forma $ \left( \displaystyle \frac{d(2j+k)(2j-k)}{9} ,\frac{d(j+k)(j-k)}{3} \right) $, dove $ d $, $ j $, $ k $ sono interi non negativi (con $ j $ e $ k $ coprimi) soddisfacenti almeno una delle tre condizioni sopra riportate.
Soluzione orrenda, spero che almeno sia giusta

[Claudio.]

$ 9a^2+4b^2-15ab=(3a-b)(3a-4b) $.

Neanche me ne ero accorto...come lo noti? Hai provato con $3a-b$ e l'hai costruito?
Si poteva pensare come trinomio in $3a$....
Comunque una soluzione del genere, in cui delle proprietà vengono espresse in parole sarebbe considerata corretta?

[doiug.8]

$ 9a^2+4b^2-15ab=(3a-b)(3a-4b) $.

Neanche me ne ero accorto...come lo noti? Hai provato con $3a-b$ e l'hai costruito?

In generale basta trovare le radici.
$ 9a^2+4b^2-15ab=9(a-\frac{1}{3}b)(a-\frac{4}{3}b)=(3a-b)(3a-4b) $