Diofantea Esponenziale Easy

[LeZ]

Trovare tutte le soluzioni intere non negative dell'equazione:
$2^a+3^b+4^c=5^d$

[matty96]

Lez, posso chiederti come hai risolto il caso b=0? Non riesco a concludere proprio per questo

[Leonida]

@Matty96: a meno che io non abbia preso cantonate, ti assicuro che c'è una soluzione elementare al caso b=0, anche se a me non è sembrato così facile...

[LeZ]

Se non sbaglio analizzando modulo 5

[Giulia 400]

credo si possa fare modulo 4, se non ho fatto una delle mie solite cavolate

[LeZ]

modulo 4 arrivi a concludere soltanto la parità di alcuni esponenti, per altro tralasciando casi a parte quali $ a,b,c,d = 0 $

[Leonida]

Sembra ci siano strade più veloci, posto lo stesso la mia soluzione!
Analizzo il caso in cui $a,b,c,d > 0$.

Considero mod 3: $(-1)^{a} + 1 \equiv(-1)^{d}$ da cui ricavo $a$ pari, $d$ dispari. Sia $a=2a_{1}$. Considero mod 4: $0 + (-1)^{b} + 0 \equiv 1$ e ricavo $b$ pari. Pongo $b=2b_{1}$. Ora mod 5: $2^{a} + 3^{b}+ 4^{c} = 4^{a_{1}}+ 9^{b_{1}} + 4^{c} \equiv (-1)^{a_{1}} + (-1)^{b_{1}} + (-1)^{c} \equiv 0 \pmod 5$ ma ciò è assurdo perchè non esiste una scelta dei segni tale che $\pm 1 \pm 1 \pm 1 \equiv 0 \pmod 5$.

Restano i casi in cui le variabili si annullano.
LEMMA N1: $2+3^{b}=5^{d}$ ha come unica soluzione $(b,d)=(1,1)$.
Dim.: Se $b=1$ trovo la soluzione $(1,1)$. D'ora in poi $b\geq 2$. Considero modulo 9: $2+0\equiv 5^{d}$ da cui ricavo $d\equiv 5 \pmod 6$. Modulo 7: $2+3^{b} \equiv 5^{d}\equiv 5^{5} \equiv 3$ dove la penultima congruenza è vera perchè $\phi(7)=6$. Segue che $3^{b} \equiv 1 \pmod 7 \rightarrow b= 6b_{1}$ cioè $b$ pari; ma analizzando modulo 4 ottengo che $b$ deve essere dispari, assurdo! Perciò non ci sono altre soluzioni.

Torno al problema:
Caso 1: $a=0$. L'equazione diventa $3^{b} +4^{c} +1= 5^{d}$. Se $c=0$, trovo l'equazione del LEMMA N1 e quindi la soluzione $(0,1,0,1)$. Altrimenti $1+0+1 \equiv 1 \pmod 2$, assurdo.
Caso 2: $c=0$. L'equazione diventa $2^{a}+ 3^{b} +1= 5^{d}$. Se $a=0$, ritrovo l'equazione del Lemma e di nuovo la soluzione $(0,1,0,1)$. Altrimenti $0+1+1 \equiv 1 \pmod 2$, assurdo.
Caso 3: $d=0$. L'equazione diventa $2^{a}+ 3^{b} + 4^{c}=1$ ma è assurdo perchè il $LHS \geq 3$.
Caso 4: $b=0$. L'equazione diventa $2^{a} + 1 + 4^{c}= 5^{d}$.
Analizzo modulo 3: $(-1)^{a} +2 \equiv(-1)^{d}$ da cui ricavo $a$ dispari, $d$ pari. Modulo 5: $2,3 + 1 + (-1)^{c} \equiv 0$ da cui $2^{a} \equiv 3 \pmod 5$ quindi $a \equiv 3 \pmod 4$, $c$ pari. Dimostro ora che $4 \nmid n$ . Per farlo analizzo modulo 17:
$2^{a}$ può assumere solo i valori $8, 9$ corrispondenti a $2^{3}, 2^{7}$ perchè $ord_{17}(2)=8$; $4^{c}$ può valere solo $1,-1$ perchè c è pari e $ord_{17}4=4$. Quindi il $LHS \equiv 10, 11, 8, 9$. Per assurdo mod 17:
$5^{4} \equiv 13$, $5^{8}\equiv 16$, $5^{12}\equiv 4$, $5^{16}\equiv 1$ e da qui in poi ciclano; quindi i due membri non sono congrui modulo 17, assurdo. Segue $v_{2}(d) =1$.

Ora riscrivo come $2^{a} + 4^{c}= 5^{d}-1$. Per Lifting The Exponent, $v_{2}(5^{d}-1)= v_{2}(4) + v_{2}(d)= 3$. Si noti che $c$ è pari e $c>0$, quindi $v_{2}(4^{c})\geq 4$. Allora se $a>3 \rightarrow v_{2}(LHS) \geq min(a, 2c) > 3$, ma ciò è assurdo .
Resta il caso $a=3$: $5^{d} - 9 = 4^{c}$. Scomponendo come differenza di quadrati, ottengo due potenze di 2 che differiscono di 6: ciò è possibile solo con $2^{3}= 8$ e $2^{1}= 2$, da cui ricaviamo $c=2, d=2$ e la soluzione $(a,b,c,d)=(3,0,2,2)$.

Edit: non so perchè, ma alcuni maggiori e uguali (ho usato il comando 'geq') in output li vedo solo come maggiori... Spero che almeno voi li vediate correttamente.

[dario2994]

Metto anche la mia... tanto per...

• $b=0$:
  • $c=0$ Allora $\pmod 2$ ottengo $a=0$ e quindi $3=5^d$ che non ha soluzioni.
  • $c\ge 1$ Allora $\pmod 4$ ottengo $a\ge 2$. E perciò $5^d\ge 4+1+4\to d\ge 1$. Poi analizzando $\pmod 5$ ottengo $2|c$ e $a\equiv 3\pmod 4$. Da cui analizzando $\pmod 8$ ottengo $2|d$.
    • $a=3$ $9+4^c=5^d$ e quindi dato che $d$ è pari facendo la differenza di 2 quadrati scopro che $4^c$ è prodotto di 2 potenze di 2 che distano 6 quindi trovo la soluzione $(a,b,c,d)=(3,0,2,2)$
    • $a\ge 4$ Allora $\pmod{16}$ ottengo $4|d$ e poi è assurdo $\pmod{31}$
• $b\ge 1$ Analizzo $\pmod 3$ e ottengo $2|a$.
  • $a=c=0$ cioè $2+3^b=5^d$
    • $b=1$ allora ottengo $d=1$ e ho la soluzione $(a,b,c,d)=(0,1,0,1)$
    • $b\ge 2$ allora analizzando $\pmod 9$ ottengo $c\equiv 5\pmod 6$ e poi ottengo assurdo $\pmod 7$
  • Solo uno tra $a,c$ è $>0$ allora assurdo $\pmod 2$.
  • $a,c>0$ Allora $\pmod 4$ ottengo $2|b$ e poi è assurdo $\pmod 5$.

p.s. Easy vuol dire un'altra cosa. Alpiù si può dire che questa è elementare. Easy non direi...

[Leonida]

@dario2994: concordo con te... Comunque per fare la struttura a elenco puntato hai usato 'itemize'?

[dario2994]

Ho usato il tasto List e per piazzare un elemento della lista il tasto [*].
Cioè il codice

Codice: Seleziona tutto

[list]
[*]Elemento 1
[*]Elemento 2
[/list]

Genera:

• Elemento 1
• Elemento 2

[Leonida]

Fantastico, chissà perchè non l'avevo visto... Grazie!

[LeZ]

Mi scuso subito per il titolo che effettivamente era inadeguato, in quanto richiedeva una serie di studi di varie congruenze abbastanza faticoso e diciamo pure "noioso".
Le soluzioni mi sembrano corrette entrambe, le soluzioni sono quelle. L'avevo inventata.