Diofantea da ML

[matty96]

Trovare le soluzioni intere di $3^x=2+y^2$

Era unsolved su ML ma credo di averla risolta decentemente. La propongo soprattutto per la scelta dei moduli...

[LeZ]

Propongo una soluzione a mio parere orrenda. Dopo aver trovato le soluzioni $ (1,\pm1) $ e $ (3\pm5) $ trovo un assurdo modulo $ 81 $. Non è nemmeno lungo da analizzare in quanto l'inverso moltiplicativo è $ 18 $

[FrancescoVeneziano]

trovo un assurdo modulo $ 81 $.

Cosa intendi?
$ 81|2+22^2 $
Del resto basta vedere che 1 risolve $ y^2+2\equiv 0 \pmod 3 $, ma non $ 2y\equiv 0 \pmod 3 $ per applicare il lemma di Hensel e concludere che la congruenza $ y^2+2\equiv 0 \pmod {3^n} $ ha soluzioni per ogni $ n $; quindi per uscirne con le congruenze c'è da fare dell'altro.

[LeZ]

Ritiro subito quello che ho scritto in precedenza (si vede che stavo andando di fretta a magna ) infatti avevo provato con i residui quadratici fino a $ 18^2; (1,4,9,16..0) mod 81 $ e dopo ciò ho pensato bene segue $ 1 $ e ricomincia il ciclo -.- Nei primi $ 18 $ tra l'altro non avevo trovato nessun $ 79 $ ma già con $ 22^2 $ le cose cambiano.

[nobu]

Analizzo modulo 4 e ottengo che $3^x\equiv 3$ modulo 4, quindi $x$ deve essere dispari.
Riscrivo l'equazione come $y^2-3\cdot 3^{2w}=-2$ (perchè $x=2w+1$ dispari), cerco quindi le soluzioni della Pell $y^2-3t^2=-2$ tali che $t$ sia una potenza di 3.
Le soluzioni sono date da $(1+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^n$, in cui in particolare $t$ è il coefficiente di $\sqrt{3}$.

Dimostro ora per induzione su $n$ che le soluzioni per $t$ rispettano la successione $a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n$, con $a_0=1$ e $a_1=3$.

• PASSO BASE: per $n=0$ la soluzione $t$ è data dal coefficiente di $\sqrt{3}$ di $(1+\sqrt{3})$, cioè 1; quindi $a_0=1$ è la prima soluzione.
  Per $n=1$ la soluzione è data da $(1+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=(5+3\sqrt{3})$, quindi $a_1=3$ è la seconda soluzione.
• PASSO INDUTTIVO: considero la soluzione $(a, b)$ per $n$, le soluzioni per $n+1$ e $n+2$ saranno date da $(a+b\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=(2a+3b+(a+2b)\sqrt{3})$ e $(2a+3b+(a+2b)\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=(7a+12b+(4a+7b)\sqrt{3})$; quindi devo verificare $a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n\iff 4a+7b=4(a+2b)-b$, che è vero!

Ora voglio quindi dimostrare che nella successione $a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n$, con $a_0=1$ e $a_1=3$, non ci sono potenze di 3 tranne 1 e 3.
Analizzo modulo 9 e ottengo che $n$ deve essere congruo a 4 per $n$ diverso da 0 e 1, da cui ottengo le soluzioni $t=1$ e $t=3$. Analizzo ora modulo 37 e per $n\equiv 4 \pmod{9}$ ottengo che dovrebbe valere $3^k\equiv \pm 5 \pmod{37}$ per qualche $k$, cioè $9^k\equiv 25 \pmod{37}$, che non è mai possibile.

Le uniche soluzioni sono quindi quelle prodotte da $t=1$ e $t=3$, cioè $(1,1)$ e $(3,5)$.

P.S. con un piccolo aiutino

[matty96]

Interessante, non aveva mai visto una soluzione del genere. In effetti la mia era sbagliata(un grazie a sonner per avermelo fatto notare) ma non credo ci sarei mai arrivato. La pell l'ho usata poco e niente e non ho ricavato mai niente di buono.Comunque molto bravo e grazie per aver postato questa soluzione