shortlist 2005

[Chuck Schuldiner]

Trovare tutte le funzioni f da $ \mathbb {R}^+ $ a $ \mathbb{R}^+ $ (reali positivi) tali che
$ f(x)f(y)=2f(x+yf(x)) $
per ogni x, y reali positivi.

[Tess]

Mi sa che le uniche soluzioni sono quelle costanti...
Oppure sono del tutto addormentato!

[Chuck Schuldiner]

Nono è giusto. Ma l'hai dimostrato o hai tirato a indovinare?

[Tess]

Oppure sono del tutto addormentato!

Sì, confermo, stavo del tutto addormentato! Avevo quasi risolto del tutto questa funzionale con $ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $! Solo che stamattina mi sono accorto che aveva come soluzioni anche le cose brutte fatte con Hamel... quindi ho pensato potessi aver sbagliato ad interpretare il testo!

Una scaletta minimale dei passaggi della dimostrazione è del tipo: $ f $ inferiormente limitata, $ f\geq 2 $, $ f $ monotona crescente.

[Chuck Schuldiner]

E' più o meno come ho fatto io, però ho dimostrato prima che f>1 e poi con questo fatto anche f>=2. E una volta trovata sta cosa e il fatto che è debolmente crescente si conclude facilmente

[Tess]

Sì, sì, certo, proprio così.
Tra l'altro ho trovato che è la stessa che hanno dato al pre-imo del 2008, vedi problema A7.