Nordic Mathematic numero 2

[alunik]

Dato un triangolo ABC si prenda la circonferenza circoscritta e P punto medio dell'arco BC che non comprende A.
La retta l passa per P ed é parallela al lato AB. Si chiami x la circonferenza tangente a l in P passante per B.
x intercetta sulla retta AB un punto Q (considerare anche Q=B), dimostrare che AQ é congruente a AC.

[pepsi]

Risolvo il caso $ B=Q $, in questo caso il segmento $ PB $ è perpendicolare alle due rette $ l $ e $ AB $ per cui la circonferenza tangente in $ P $ a $ l $ è tangente anche ad $ AB $ in $ B $ e a questo punto è facile perchè ho che l'angolo $ ABP $ è rettangolo, quindi $ AP $ è un diametro poi ho $ PB = PC $ per costruzione, l'angolo $ ACP $ che è rettangolo quindi abbiamo 2 triangoli rettangoli con stesso diametro e con 2 cateti congruenti, di conseguenza i 2 cateti rimanenti $ AB $ e $ AC $ sono congruenti.
con $ B $ diverso da $ Q $ non mi viene, ci provo più tardi...

[pepperoma]

Sia Q il secondo punto in cui la circonferenza x interseca la retta AB. Per dimostrare che AQ=AC, cioè che il triangolo AQC è isoscele di vertice A, basta mostrare che la bisettrice relativa ad A è pure altezza per il lato opposto: AP deve essere perpendicolare a QC.
Sia O il centro di x, traccio il raggio PO fino ad intersecare il circocerchio di ABC in R e AB in H; indico con 2a l'ampiezza dell'angolo BAC. Per la tangenza PH è perpendicolare ad l e quindi ad AQ; passando per O, dimezza BQ e allora per simmetria gli angoli QRH e BRH sono uguali. PRC=a perchè insiste sull'arco PC, metà di BC dove insiste BAC; BRC=180°-2a perchè angolo opposto a BAC nel quadrilatero ciclico ABRC. Quindi per differenza risulta BRH=a (sono tre angoli supplementari), ma allora QRB+BRC=2a+180°-2a=180°: R giace su QC e cioè QC ed RC sono la stessa retta. Dalla perpendicolarità tra PH e AQ e dal fatto che BAP=a, deriva che APR=90-a e dato che insistono su AR anche ACR=90-a. Essendo quindi ACR=90-a e PAC=a, AP ed RC risultano perpendicolari che equivale alla tesi.
Va bene?

[Sonner]

Scrivo pure la mia che è corta: $QBP$ e $BPC$ isosceli $\Rightarrow QB=PB=PC$, inoltre $\angle PQB=\angle QBP=\angle PCA$ e questo basta (unito al fatto che AP è bisettrice).