Non so se questo problema è stato già dato in precedenza, comunque lo metto qui. Sia $ a_1,a_2, \ldots a_n $ una $ n $-upla di numeri interi distinti. Si dimostri che i seguenti polinomi sono irriducibili in $ \mathbb{Z}[x] $:
1- $ (x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n) -1 $
2- $ (x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n) + 1 $ (con l'ipotesi che $ n \geq 3 $)
3- $ [(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)]^2 + 1 $ (anche questo con $ n \geq 3 $)
good luck!
Naturalmente, chiunque voglia, si senta libero di postare dimostrazioni, suggerimenti, tentativi....
Irriducibilità
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Re: Irriducibilità
Perdonate l'ignoranza, ma "irriducibile" significa che ha almeno una radice non intera? (in questo caso)
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Irriducibilità
Irriducibile vuol dire che non è scomponibile in polinomi di grado minore a coefficienti interi, quindi condizione necessaria è che non abbia radici intere.Drago96 ha scritto:Perdonate l'ignoranza, ma "irriducibile" significa che ha almeno una radice non intera? (in questo caso)
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
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Re: Irriducibilità
Esatto: un polinomio $ p(x) $ si dice irriducibile se non esistono due polinomi non banali (cioé almeno di primo grado) $ q_1(x), q_2(x) $, tali che $ p(x)=q_1(x)q_2(x) $, e dove di solito si intende, se non specificato, che i polinomi $ q_1, q_2 $ devono essere interi se i coefficienti di $ p $ sono interi, razionali se quelli di $ p $ sono razionali ecc... Ad esempio $ x^2+x+1, x^3+2 $ sono polinomi irriducibili, mentre $ x^2+2x+1,x^{2012}-1, x^5+x+1 $ si dice che sono riducibili (il contrario di irriducibili). Chi mi trova una scomposizione per l'ultimo menzionato?
Re: Irriducibilità
$ x^5 +x + 1 = (x^2 +x +1)(x^3-x^2+1) $
Anti-intellectualism has been a constant thread winding its way through our political and cultural life. Nurtured by the false notion that democracy means that "My ignorance is just as good as your knowledge. "
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Re: Irriducibilità
Magari anche un ragionamento sarebbe gradito... come hai trovato quella scomposizione? e se dovessi trovare quella di $ x^{2012} +x +1 $ ??
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Re: Irriducibilità
Qui se leggo bene il copione io facevo notare che
per $n=4$ ha il controesempio $x(x-1)(x-2)(x-3)+1=(x^2-3x+1)^2$ (e volendo infiniti altri traslando la $x$). Serve l'ipotesi $n\ge 5$Simo_the_wolf ha scritto:2- $ (x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n) + 1 $ (con l'ipotesi che $ n \geq 3 $)