a) dire per quali $ n $ naturali, $ 41|4\cdot{10}^{n}+1 $
b) dire per quali $ n $ naturali, $ 41|10^n+4 $
Criteri divisibilità con 41
Re: Criteri divisibilità con 41
nel punto b , devi trovare le potenze di 10 congrue a 37 modulo 41.
ho notato che $ 10^0 e 10^5 $ sono congrue a 1 modulo 41,gli esponenti multipli di 5 sono tutti congrui a 1 mod 41 , allora ho pensato che in mezzo c'erano 4 valori che si ripetevano e ho scoperto che gli n devono essere multipli di 5 diminuiti di 1 , quindi $ 10^4 $ ,$ 10^9 $ , ....
comunque è meglio aspettare qualcuno che dia una spiegazione piu' accettabile
ho notato che $ 10^0 e 10^5 $ sono congrue a 1 modulo 41,gli esponenti multipli di 5 sono tutti congrui a 1 mod 41 , allora ho pensato che in mezzo c'erano 4 valori che si ripetevano e ho scoperto che gli n devono essere multipli di 5 diminuiti di 1 , quindi $ 10^4 $ ,$ 10^9 $ , ....
comunque è meglio aspettare qualcuno che dia una spiegazione piu' accettabile
Ultima modifica di nic.h.97 il 29 giu 2012, 21:59, modificato 1 volta in totale.
Re: Criteri divisibilità con 41
Faccio il primo,
$ 4\cdot{10}^{n}+1 \equiv 4\cdot{10}^{n}-40 \equiv 40(10^{n-1}-1) \equiv 0 \pmod{41} $, adesso poichè si deve avere che $ ord_{41}(10)|40 $ si trova facilmente che $ n-1=5k $ da cui $ n=5k+1 $.
$ 4\cdot{10}^{n}+1 \equiv 4\cdot{10}^{n}-40 \equiv 40(10^{n-1}-1) \equiv 0 \pmod{41} $, adesso poichè si deve avere che $ ord_{41}(10)|40 $ si trova facilmente che $ n-1=5k $ da cui $ n=5k+1 $.
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »
Re: Criteri divisibilità con 41
e nel punto a devi trovare le potenze di 10 congrue a 10 mod 41
Re: Criteri divisibilità con 41
Esattamente, basta trovare $ ord_{41}(10) $, il punto b è identico 
Re: Criteri divisibilità con 41
Che poi una volta fatto il punto a) si ha che:
$41| 10^{n-1}-1 \Longrightarrow 41|10^{n-1}+40 \Longrightarrow 41| 10^{n-2}+4$
Inoltre:
$41| 10^{n-2}+4 \Longrightarrow 41| 10^{n-1}+40 \Longrightarrow 41 | 10^{n-1}-1$
Quindi $41| 10^{n-1}-1 \Longleftrightarrow 41|10^{n-2}+4$
Ma forse per solo 5 casi non ne valeva la pena
$41| 10^{n-1}-1 \Longrightarrow 41|10^{n-1}+40 \Longrightarrow 41| 10^{n-2}+4$
Inoltre:
$41| 10^{n-2}+4 \Longrightarrow 41| 10^{n-1}+40 \Longrightarrow 41 | 10^{n-1}-1$
Quindi $41| 10^{n-1}-1 \Longleftrightarrow 41|10^{n-2}+4$
Ma forse per solo 5 casi non ne valeva la pena