Alfa e seni - SNS 1990-1991
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Trovare il più piccolo numero $ \alpha >1 $ tale che risulti: $ \displaystyle {\frac{\alpha +\sin x}{\alpha +\sin y}}\le e^{y-x} $ per ogni $ x\le y $.
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Giusto perchè l'ho odiato e tutte le volte che lo riguardo lo sbaglio nello stesso modo prima di rendermi conto che... viewtopic.php?t=5312&highlight=
Ciao!
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"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
Membro dell'EATO
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Se qualcuno la chiede, ben felice di postarla!
L'idea base, è sfruttare il fatto che per l'ipotesi su $ \displaystyle \alpha $ puoi riscrivere come $ e^{x}({\alpha +\sin{x}})\le e^{y}({\alpha +\sin{y}}) \ (*) $.
Tra lhs e rhs, c'è solo un cambio di variabile, allora consideriamo la funzione $ g(z)=e^{z}(\alpha +\sin{z}) $.
Noi vogliamo un $ \displaystyle \alpha $ tale che la (*) sia sempre vera. Poichè le ipotesi sono di $ x\le y $, allora $ \displaystyle \alpha $ deve "permettere" la crescenza di $ g(z) $.
Poniamo $ g'(z)\ge 0 \rightarrow e^{z}(\alpha+ \sin{z})+ e^z\cos{z}\ge 0 $
Allora $ \alpha \ge -(\sin{z} +\cos{z}) $.
È cosa ben nota, oppure si ricava con le derivate, o con altri metodi più intelligenti, che il massimo del rhs è $ \sqrt{2} $.
Si sostituisce il valore nella disuguaglianza iniziale e si dimostra che è vera. Dunque la soluzione è $ \alpha =\sqrt{2} $.
Ciao!
L'idea base, è sfruttare il fatto che per l'ipotesi su $ \displaystyle \alpha $ puoi riscrivere come $ e^{x}({\alpha +\sin{x}})\le e^{y}({\alpha +\sin{y}}) \ (*) $.
Tra lhs e rhs, c'è solo un cambio di variabile, allora consideriamo la funzione $ g(z)=e^{z}(\alpha +\sin{z}) $.
Noi vogliamo un $ \displaystyle \alpha $ tale che la (*) sia sempre vera. Poichè le ipotesi sono di $ x\le y $, allora $ \displaystyle \alpha $ deve "permettere" la crescenza di $ g(z) $.
Poniamo $ g'(z)\ge 0 \rightarrow e^{z}(\alpha+ \sin{z})+ e^z\cos{z}\ge 0 $
Allora $ \alpha \ge -(\sin{z} +\cos{z}) $.
È cosa ben nota, oppure si ricava con le derivate, o con altri metodi più intelligenti, che il massimo del rhs è $ \sqrt{2} $.
Si sostituisce il valore nella disuguaglianza iniziale e si dimostra che è vera. Dunque la soluzione è $ \alpha =\sqrt{2} $.
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Re:
Scusate io non so usare le equazioni differenziali...ma ho pensato che ..non si potrebbe fare :
$ a>e^xsinx-e^ysiny/e^x-e^y $
e cioè $ f(x)= e^xsinx-e^ysiny/e^x-e^y $ e fare la derivata e vedere il punto massimo??
$ a>e^xsinx-e^ysiny/e^x-e^y $
e cioè $ f(x)= e^xsinx-e^ysiny/e^x-e^y $ e fare la derivata e vedere il punto massimo??
L'universo è come una sfera dove il centro è ovunque e la circonferenza da nessuna parte.
"Blaise Pascal"
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Re: Re:
Robertopphneimer ha scritto:Scusate io non so usare le equazioni differenziali...ma ho pensato che ..non si potrebbe fare :
$ a>e^xsinx-e^ysiny/e^x-e^y $
e cioè $ f(x)= e^xsinx-e^ysiny/e^x-e^y $ e fare la derivata e vedere il punto massimo??
La tua f(x) presenta due variabili, x e y l'idea delle derivate si può sfruttare, appunto come descritto da EUCLA
Anti-intellectualism has been a constant thread winding its way through our political and cultural life. Nurtured by the false notion that democracy means that "My ignorance is just as good as your knowledge. "
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Re: Alfa e seni - SNS 1990-1991
io ho trocvato una spiegazione più...semplice ecco xDD .
Ho scritto la funzione $ g(x) = e^z(a+sin(z)) =e^y(siny)-e^x(sinx) >0 $
perciò essendo per forza positiva
anche la derivata $ e^z (a+sinz)+e^z(cosz) > 0 $ e si torna allo stesso ragionamento di Eucla.
Ho scritto la funzione $ g(x) = e^z(a+sin(z)) =e^y(siny)-e^x(sinx) >0 $
perciò essendo per forza positiva
anche la derivata $ e^z (a+sinz)+e^z(cosz) > 0 $ e si torna allo stesso ragionamento di Eucla.
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Re: Alfa e seni - SNS 1990-1991
si appunto..dovrei gestire le equazioni differenziali...qualcuno sa qualche topic che ne parla in modo veloce?? qualche cosina su cui studiare le differenziali?? Mi sto accorgendo che ne ho sempre più bisogno!ant.py ha scritto:
La tua f(x) presenta due variabili, x e y l'idea delle derivate si può sfruttare, appunto come descritto da EUCLA
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Re: Alfa e seni - SNS 1990-1991
fidati, le differenziali non c'entrano niente con quello che ti serve per quest'esercizio
poi qualce funzioni scrivi? g(x) per come l'hai definita non dipende da x ma da z e poi compaiono x e y da dove?
poi qualce funzioni scrivi? g(x) per come l'hai definita non dipende da x ma da z e poi compaiono x e y da dove?
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Re: Alfa e seni - SNS 1990-1991
sdarebbe g(z)= g(x)-g(y) però stavo pensando che hai ragione...me le sono guardate un attimo..diciamo che si può fare con le derivate parziali!
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