Triangoli e poligoni regolari

[Kfp]

Sia $ABC$ un triangolo. Costruiamo su ciascuno dei suoi tre lati (esternamente) un $n$-agono regolare. Sia ora $O_A$ il centro del poligono costruito su $BC$ e siano $O_B$ e $O_C$ definiti similmente. Dimostrare che le rette $AO_A$, $BO_B$ e $CO_C$ concorrono.

Bonus: che punto diventa il punto di concorrenza quando $n\rightarrow \infty$ ?

[kalu]

Sia $ 2\omega $ l'angolo interno dell'ennagono, quindi $ \displaystyle \omega=\pi \biggl(\frac{1}{2}-\frac{1}{n} \biggl) $.
Applicando il teorema dei seni al triangolo $ \triangle ABO_A $ ottengo: $ \displaystyle \frac{sen\angle BAO_A}{sen\angle O_ABA}=\frac{BO_A}{AO_A} $.
Analogamente, per il triangolo $ \triangle AO_AC $, $ \displaystyle \frac{sen\angle O_AAC}{sen\angle ACO_A}=\frac{CO_A}{AO_A} $.
Ma chiaramente $ BO_A=CO_A $, quindi posso uguagliare i primi termini delle precedenti equazioni, ottenendo: $ \displaystyle \frac{sen\angle BAO_A}{sen\angle O_AAC}=\frac{sen\angle O_ABA}{sen\angle ACO_A}=\frac{sen(\beta+\omega)}{sen(\gamma+\omega)} $.
In modo analogo $ \displaystyle \frac{sen\angle CBO_B}{sen\angle O_BBA}=\frac{sen(\gamma+\omega)}{sen(\alpha+\omega)} $ e $ \displaystyle \frac{sen\angle ACO_C}{sen\angle O_CCB}=\frac{sen(\alpha+\omega)}{sen(\beta+\omega)} $.
Quindi $ \displaystyle \frac{sen\angle BAO_A}{sen\angle O_AAC}\cdot \frac{sen\angle CBO_B}{sen\angle O_BBA} \cdot \frac{sen\angle ACO_C}{sen\angle O_CCB}=1 $, da cui concludo con Ceva trigonometrico.

Bonus: $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \omega= \lim_{n \to \infty} \pi\biggl(\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\biggl)=\frac{\pi}{2} $, quindi $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{sen\angle BAO_A}{sen\angle O_AAC}= \lim_{n \to \infty} \frac{sen(\beta+\omega)}{sen(\gamma+\omega)}=\frac{cos\beta}{cos\gamma} $.
Perciò, al limite, $ AO_A $ diventa perpendicolare a $ BC $, così come le altre ceviane rispetto ai loro lati opposti. Ne consegue che il punto di concorrenza va a coincidere con l'ortocentro.

[Kfp]

Complimenti, è perfetta! Molto simile (o forse proprio identica? Controllo...) a quella che avevo scritto io. Tra l'altro mi è venuta in mente una possibile generalizzazione che ora proverò a dimostrare e che propongo a tutti.
Sempre dato un triangolo $ABC$, costruiamo tre circonferenze $\Gamma_A$, $\Gamma_B$ e $\Gamma_C$ passanti rispettivamente per $B$ e $C$, $A$ e $C$, $A$ e $B$, col centro dalla parte opposta del lato rispetto al terzo vertice e i cui raggi $R_A$, $R_B$ e $R_C$ soddisfino la seguente relazione:
$$\frac{R_A}{BC}=\frac{R_B}{AC}=\frac{R_C}{AB}$$
Dimostrare che allora, detti $O_A$ e ciclici i centri delle circonferenze, le tre rette $AO_A$, $BO_B$ e $CO_C$ sono concorrenti.

Bonus: Se chiamiamo $\lambda$ il rapporto fra il raggio di una circonferenza e il rispettivo lato e $P$ il punto di concorrenza delle tre rette, qual'è il luogo descritto dai punti $P$ al variare di $\lambda$?

[Kfp]

Ok, nella mia immensa stupidità noto solo ora che la dimostrazione di Kalu(che nel franttempo ho scoperto essere un po'diversa dalla mia) si applica perfettamente anche a questa generalizzazione, o almeno così mi pare.
Quanto al bonus, sembra essere abbastanza delirante e mentre elucubriamo su di esso rilancio con una nuova domanda:
Bonus 2: Per quale valore di $\lambda$ si ha che il punto $P$ di concorrenza coincide con il centro radicale delle tre circonferenze?
Hint:

Testo nascosto:

è un caso particolare MOOOLTO semplice del primo problema, quello dei poligoni regolari.