n!<=n^n .. prove it!

[AlanG]

Salve a tutti, sono nuovo di questo forum e vi propongo un simpatico teoremino da dimostrare. E' semplice, ma notevole sotto il punto di vista di quanti approcci diversi possa avere.

Th Sia $ n \in N $
Se $n >=1 $ allora $ n!<=n^n $

Buon divertimento!

[ant.py]

In $ n! $ moltiplichi $ n $ numeri $ \le n $, in $ n^n $ moltiplichi $ n $ numeri $ = n $; da cui $ n! \le n^n $

[AlanG]

anty.py avrei preferito qualche altro tipo di approccio ma va beh

Posto la mia,

Voglio provare che $\forall n>=1,n\in N : n!<=n^n$
Ovviamente il teorema si mostrerebbe falso per $n=0$ . Avrei un'espressione del genere $0!=1<=0^0$ la quale non ha senso.
Per $n=1$ la tesi è banalmente vera. (1)
Sia ora $n>1$ e consideriamo l'insieme $X=${$1,2,...,n$}
Inoltre consideriamo $K$ l'insieme delle funzioni da $X$ in $X$.
Banalmente, la cardinalità di $K$ risulta essere $n^n$.
Consideriamo ora $B$, il sottoinsieme di $K$ formato dalle applicazioni bigettive di $X$ in se.
$B$ è allora l'insieme di permutazioni su $n$ elementi. Inoltre $B$ è diverso da $K$ se $n$ è diverso da $1$.
Ma allora $B=S_n$ ne segue allora che la cardinalità di $B$ è $n!$. (2)
essendo $B$ un sottoinsieme di $K$ , ne segue che la cardinalità di $B$ è minore oppure uguale (da 1 e 2) a quella di K.
Pertanto $n!<=n^n$ se $n>=1$

[Drago96]

Si può anche fare con l'induzione:
supponendo che la tesi valga per $n$, si ha
$(n+1)^{n+1}=(n+1)(n+1)^n\ge(n+1)n^n\ge(n+1)n!=(n+1)!$

[AlanG]

Si può anche fare con l'induzione:
supponendo che la tesi valga per $n$, si ha
$(n+1)^{n+1}=(n+1)(n+1)^n\ge(n+1)n^n\ge(n+1)n!=(n+1)!$

bravo!

[amatrix92]

Comunque la dimostrazione di ant.py per una cosa così semplice mi pare sia la più intuitiva e che vada benissimo.

Giacchè siamo in MNE propongo un rilancio per rendere il tutto più interessante:

Dimostrare (StirlingLESS!! ) che

$ n! e^n > n^n >(n-1)!e^n $

Edit: apparte la definizione di $ e $ e le sue propietà le dimostrazioni del rilancio sono totalemnte elementari!