Da un parallelogrammo ad Erone(Galileiana)

[Robertopphneimer]

Sia un parallelogrammo con vertici $ ABCD $ con diagonale $ c $ (tra i vertici B e D) con $ a= AB=CD $ e $ b=BC=AD $ , inoltre sappiamo che $ \gamma $ è l'angolo formato dai lati AB e AD.
Si sa che il quadrato dell'area del parallelogrammo è $ a^2 b^2 sin^2 (\gamma) $ e sia P(a,b,c) funzione di tre variabili che è equivalente al quadrato dell'area.

a) Trovare P(a,b,c) mosttrando che è un polinomio con variabili a,b e c.
b) Scomporre P(a,b e c) però in fattori primi di grado.
c) Risalire alla famosa formula di Erone per l'area di un triangolo.

ps: scusate se non ho postato la figura ma non ho molto tempo dato che non sono a casa .Al massimo, per chi non avesse capito proprio come sono messi gli angoli etc.., in questo link trovate il problema con la figura(http://www.scuolagalileiana.unipd.it/it ... em8-09.pdf).
pps: Lo trovavo molto carino anche se è semplice anzi banale per moltissimi qua dentro,inoltre chi ancora non è esperto magari lo troverà divertente(chiedo di postare solo soluzioni nascoste)..., inoltre vorrei sapere se c'è un altro modo oltre a quello che ho utilizzato io

Testo nascosto:

Carnot

che magari può dare nuove idee e nuovi approcci per affrontare il problema.

[matty96]

Bhè non l'ho trovato molto bello, era un pò contoso, almeno la mia soluzione.

Testo nascosto:

$P(,a,b,c)=P(a,b,\gamma)=a^2b^2{\sin^2}\gamma$. Essendo $$\sin^2\gamma=1-\cos^2\gamma=(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)=\frac{(2ab+c^2-a^2-b^2)(2ab+a^2+b^2-c^2)}{4a^2b^2}=\frac{(c^2-(a-b)^2)((a+b)^2-c^2)}{4a^2b^2}=\frac{(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}{4a^2b^2}$$. Andando a sostituire nell'espressione iniziale si ha $P(a,b,c)=\frac{1}{4}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$
Ora possiamo riscrivere l'espressione anche come $$\frac{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{4}=\frac{1}{4}[(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)]$$. La radice di quest'ultima deve essere il doppio dell'area del triangolo, quindi la metà della radice deve essere l'area del triangolo, che equivale appunto ad $\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}$ ovvero la formula di Erone.

[Robertopphneimer]

good solo che hai usato il mio stesso procedimento...sembra un pò troppo contoso,sarebbe bello qualcosa di più snello ed elegante...qualcosa che operi sul coseno(anche se a parte quello che abbiamo fatto noi non saprei proprio).