Divisibilità

[mat94]

Trovare tutti gli n interi positivi tali che $ 8^n+n $ è divisibile per $ 2^n+n $ .

[Troleito br00tal]

Scusami, per $n>0$ non vale $8^n+n>2^n+n$?

[jordan]

Sicuro che il "divide" non sia un "è divisibile per"?

[mat94]

Si scusate ho modificato

[Troleito br00tal]

Testo nascosto:

Ci basta dimostrare che per $n > 9$:
\begin{equation}
(4^n-n2^n+n^2-1)(2^n+n)<8^n+n<(4^n-n2^n+n^2)(2^n+n)
\end{equation}
\begin{equation}
8^n+n^3-2^n-n<8^n+n<8^n+n^3
\end{equation}
Intanto:
\begin{equation}
8^n+n<8^n+n^3
\end{equation}
Questo è vero. Per l'altra disuguaglianza ci serve un vincolo più forte su $n$:
\begin{equation}
8^n+n^3-2^n-n<8^n+n
\end{equation}
\begin{equation}
n^3<2^n+2n
\end{equation}
Che è vero per $n \ge 10$. Di conseguenza, se $8^n+n=k(2^n+n)$, allora $(4^n-n2^n+n^2-1)(2^n+n)<k(2^n+n)<(4^n-n2^n+n^2)(2^n+n)$, ovvero $k$ non è intero per $n>9$.

Ora troviamo le soluzioni per $1 \le n \le 9$
\begin{equation}
2^n+n|8^n+n
\end{equation}
\begin{equation}
2^n+n|(2^n+n)(4^n-n2^n+n^2)-(n^3-n)
\end{equation}
\begin{equation}
2^n+n|n^3-n
\end{equation}
Ora che i conti sono un poco più umani, facciamo i vari casi:
-$n=1 \rightarrow 3|0$
-$n=2 \rightarrow 6|6$
-$n=3 \rightarrow 11|24$
-$n=4 \rightarrow 20|60$
-$n=5 \rightarrow 37|120$
-$n=6 \rightarrow 70|210$
-$n=7 \rightarrow 135|336$
-$n=8 \rightarrow 264|504$
-$n=9 \rightarrow 521|720$
Ovvero $2^n+n|8^n+n$ se $n=1;2;4;6$

[mat94]

Bella idea troleito la mia dimostrazione si basava sul fatto che $2^n+n|8^n+n^3\implies 2^n+n | 8^n+n^3-(8^n+n) = n^3-n $ e per n>9 il denominatore è maggiore del numeratore.