Facile facile, con tutti quei cerchi...

[EvaristeG]

In un triangolo $ABC$, trovare tutti i punti $D$, $E$, $F$, sui lati $BC$, $CA$, $AB$ rispettivamente, tali che $BCFE$, $CADF$, $ABED$ siano ciclici.

[Troleito br00tal]

Si ha che $A \hat D B=A \hat E B$ e cicliche per ciclicità. Inoltre $A \hat D B + B \hat D C=180$ e cicliche. Sfruttando le due uguaglianze, si può agilmente dimostrare che $A \hat D B=180-A \hat D B$. Ma allora $A \hat D B=90$ e cicliche, di conseguenza tutti e soli i punti che soddisfano la seguente relazione sono i piedi delle altezze.

[EvaristeG]

L'avevo detto, che era facile...siete senza criterio, voi stagisti

[Troleito br00tal]

Se vedo un problema di geometria che mi riesce non esito a comunicarlo al mondo

[simone256]

Domanda avventata e forse ingenua... Quando dei punti (o dei poligoni) sono ciclici? Non ne ho proprio idea

[Gi.]

Per ciclico si intende inscrivibile in una circonferenza.
Personalmente conosco solo la condizione di ciclicità per i quadrilateri:
"Un quadrilatero è ciclico se e solo se gli angoli opposti sono supplementari".
Mi pare che per stabilire se un quadrilatero è ciclico o no vi sia anche un teorema (teorema di Tolomeo): un quadrilatero è ciclico se la somma dei prodotti dei lati opposti è uguale al prodotto delle diagonali.
Invece, presi quattro punti A,B,C,D su una circonferenza (in verso orario) essi sono conciclici se l' angolo in CDB è uguale a quello in CAB.

[EvaristeG]

Invece, presi quattro punti A,B,C,D su una circonferenza (in verso orario) essi sono conciclici se l' angolo in CDB è uguale a quello in CAB.

Presi quattro punti su una circonferenza, loro sono sempre conciclici, per definizione... e succede che, se l'ordine è quello detto (ABCD) in senso orario o antiorario, deve proprio succedere quello che hai scritto, che però è equivalente al fatto che angoli opposti sommino a 180gradi.

[simone256]

AAAAh ok molto più semplice di quello che credevo