148. Altezza diadica pari

[kalu]

Siano $a, b>1$ interi tali che $ab=2^n-1$ per qualche $n$.
Detto $v_2(k)=max\{x\ : \ 2^x\mid k\}$, si dimostri che $$2|v_2(ab+a-b-1)$$

[Troleito br00tal]

Sia:

$a=\frac{2^n-1}{b}$

Poiché $b$ è dispari vale:

$v_2((\frac{2^n-1}{b}+1)(b-1))=v_2((b2^n-b+1)(b-1))$

Ovviamente $v_2(b-1) < n$, poiché $1<b<2^n$: ma allora $v_2(b2^n-(b-1))=v_2(b-1)$.

Pertanto $v_2(ab+a-b-1)=2v_2(b-1)$, che è ovviamente pari.

[kalu]

Si