Tuttavia la nostra dimostrazione per (n+1) non è valida, pertanto se ne deduce che la proprietà non è assolutamente valida per ogni n.
- per il passo base, credo proprio che la proprietà sia valida, proprio perchè ogni insieme di un cavallo contiene cavalli dello stesso colore. E' una banalità certo, però è vero.
D'altronde, dimmi se mi sbaglio , ma per dimostrare che non è valida $ \forall n \in N $ è sufficiente fornire anche un controesempio, cioè se si prova ad effettuare il passo base per n=2 e non per n=1 , allora tentare di effettuare la dimostrazione per n cavalli dello stesso colore, o n cavalli neri è la stessa identica cosa, perchè si dovrebbe sempre definire un insieme di partenza dal quale "selezionare" gli elementi e tale insieme dovrebbe avere la proprietà di contenere (già per ipotesi) tutti cavalli dello stesso colore.
Dunque... secondo me, la dimostrazione non è valida non perchè non funzioni il passo induttivo, ma perchè la dimostrazione del passo induttivo funziona $ \forall n \in N $ con n diverso da 1... quindi è valida TRANNE che per il passo base (e questo ce lo spiega tutta la trafila dei sottoinsiemi senza elementi in comune, cosa che avviene appunto quando n =1). Il che significa che passo base e passo induttivo... è come se facessero parte di dimostrazioni differenti.
Per spiegarmi meglio sfrutto il tuo secondo messaggio: se io trovo una proprietà dei primi n naturali, il passo base è "n=1 (poniamo) ha questa caratteristica (e ciò deve essere evidente o lo devo dimostrare)". Il passo induttivo è "assumo che quella caratteristica sia vera per n e la dimostro per n+1": se ciò non avviene, non è che la dimostrazione entra in contraddizione con il passo base, perchè n=1 ha ancora quella proprietà. Invece nel caso dei cavalli abbiamo: "per n=1 funziona", poi "assunto vero per n, funziona per n+1" ma ora non funziona più per n=1, o meglio la dimostrazione induttiva non è valida per n=1...
Quindi, quando dico che
Non ho mai visto una dimostrazione matematica che entra in contraddizione con il passo base...
intendo dire che non mi è mai capitato che la dimostrazione induttiva non valesse per il passo base, perchè normalmente una volta che ho determinato il passo base, ho "eliminato" un caso dalla mia dimostrazione, ovvero ho assunto che è sicuramente valido (altrimenti non avrebbe senso la dimostrazione).
Il passo base è valido, come dici tu, ma non lo è più nel passo induttivo... e com'è possibile ciò? Non capisco se è questo l'errore che la dimostrazione vuole sottolineare... perchè non capisco come uno potrebbe farlo in una dimostrazione rigorosa (tipo quelle con le successioni).
Come dici tu, alla fine è sufficiente scegliere un passo base differente e si vede subito che qualcosa non funziona; normalmente infatti si sceglie il passo base più semplice, ma si può partire da qualunque numero proprio perchè bisogna dimostrare che una certa proprietà è vera (solo che se parto da, diciamo, 97, la proprietà è valida solo per i numeri maggiori di 97, perciò di solito si parte dal numero più piccolo, quindi 0 o 1...). Diciamo che questa dimostrazione mi convince poco perchè sembra che l'errore che ti vogliono mostrare è nascosto nel modo di procedere (un po' come nella dimostrazione 0=1... l'hai mai vista?), ma mi chiedo: è possibile fare lo stesso errore quando uno applica normalmente l'induzione? E' come se ti stessero suggerendo: bada che il passo induttivo deve valere anche per il passo base... peccato che normalmente il passo base è incluso nel passo induttivo!
