Premetto che si risolve con due passaggi... Ma l'ho trovato comunque figo! XD
Una stanza infinitamente estesa è stata pavimentata con piastrelle triangolari bianche e nere nel modo seguente:
- le piastrelle non si sovrappongono e coprono tutti i punti del piano
- tutte le piastrelle nere sono congruenti tra loro
- tutte le piastrelle bianche sono triangoli equilateri (non tutti aventi necessariamente le stesse dimensioni)
- due piastrelle aventi un lato in comune sono di colori diversi
-la pavimentazione rimane invariata se ruotata di 120° intorno al centro di una qualunque piastrella bianca
Determinare la probabilità che, scelto un punto a caso, esso giaccia su una piastrella nera
Probabilità su un pavimento
Probabilità su un pavimento
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Maledetti fisici! (cit.)
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Re: Probabilità su un pavimento
Curiosità: lo avete trovato difficile o semplicemente come problema vi ha fatto schifo? 
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
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Gottinger95
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Re: Probabilità su un pavimento
Questo problema, almeno per come l'ho inteso io, riguarda i gruppi cristallografici nel piano, per cui rimando al bellissimo libro di geometria "Geometria Intuitiva", scritto sulla base di un corso di lezioni di Hilbert.
Sia \(\mathcal{G}=\{P_i, \ i \in \mathbb{N}\}\) l'insieme dei centri dei triangoli equilateri bianchi. Sia \(\mathcal{S}\) l'insieme delle trasformazioni che manda la tassellazione del piano con piastrelle bianche e e nere in sè (automorfismi). Naturalmente il prodotto di elementi di \(\mathcal{G}\) è ancora un elemento di \(\mathcal{G}\). Si definisce campo fondamentale \(\mathcal{C}\) di \(\mathcal{G}\) una regione connessa del piano tale che non esiste una trasformazione di \(\mathcal{S}\) che mandi un punto di \(\mathcal{C}\) in un altro punto di \(\mathcal{C}\), e tale che aggiungendo un solo altro punto a \(\mathcal{C}\) si perde questa proprietà. Vogliamo determinare il campo fondamentale di \(\mathcal{G}\).
Consideriamo \(P_j\) il punto a distanza minima da un punto \(P_i\). Per ipotesi, detta \(\omega_k(i)\) la rotazione di un angolo \(2\pi k / 3\) intorno a \(P_i\), si ha \(\omega_{1}(i), \omega_{2}(i) \in \mathcal{S}\). Perciò anche \(\omega_{1}(i) \cdot \omega_{2}(i) = \Pi_{j} \in \mathcal{S}\), dove \(\Pi_j\) è la traslazione che manda \(i\) in \(j\). Infine, detto \(P_k\) un punto tale che \(P_i P_j P_k\) è un triangolo equilatero, si ha \(\mathcal{S} \ni \Pi_{k} = \Pi_{i} \cdot \omega_{1}(i) \cdot \Pi_{i} \), dove \(\Pi_{k}\) è la traslazione che manda \(i\) in \(k\). Perciò il campo fondamentale di \(\mathcal{G}\) è contenuto in \(P_i P_j P_k\). D'altronde non ci può essere nessun altro punto in \(P_i P_j P_k\), perchè avevamo supposto che \(P_j\) fosse il punto a distanza minima da \(P_i\). Perciò il campo fondamentale di \(\mathcal{G}\) è un triangolo equilatero.
Siano \(i_1, i_2, i_3\) i vertici del triangolo che ha come centro \(P_i\), e similmente definiamo \(j_1, j_2, j_3, k_1, k_2, k_3\), in modo che \(i_1, j_1, k_1\) formino un triangolo equilatero (così come \(i_2, j_2, k_2\) e \(i_3,j_3,k_3\) ). Sia \(T\) il triangolo equilatero \(i_1 j_2 k_3\), e consideriamo la sua parte non bianca: essa può contenere un solo triangolo nero, perchè se ne contenesse 2 confinerebbero per un lato (per l'ipotesi che coprono il piano) ma questo contraddice l'ipotesi che triangoli che hanno un lato in comune siano di colori diversi. Ma allora \(T\) è formato da quattro triangoli di cui 3 equilateri \(\rightarrow\) il quarto triangolo (quello nero) è equilatero e congruente a quelli bianchi.
Perciò la tassellazione è formata da triangoli equilateri alternativamente bianchi e neri, dunque la probabilità cercata è \(1/2\).
P.S.: hai detto che si risolve in due passaggi. Hai una dimostrazione più semplice? xD
Sia \(\mathcal{G}=\{P_i, \ i \in \mathbb{N}\}\) l'insieme dei centri dei triangoli equilateri bianchi. Sia \(\mathcal{S}\) l'insieme delle trasformazioni che manda la tassellazione del piano con piastrelle bianche e e nere in sè (automorfismi). Naturalmente il prodotto di elementi di \(\mathcal{G}\) è ancora un elemento di \(\mathcal{G}\). Si definisce campo fondamentale \(\mathcal{C}\) di \(\mathcal{G}\) una regione connessa del piano tale che non esiste una trasformazione di \(\mathcal{S}\) che mandi un punto di \(\mathcal{C}\) in un altro punto di \(\mathcal{C}\), e tale che aggiungendo un solo altro punto a \(\mathcal{C}\) si perde questa proprietà. Vogliamo determinare il campo fondamentale di \(\mathcal{G}\).
Consideriamo \(P_j\) il punto a distanza minima da un punto \(P_i\). Per ipotesi, detta \(\omega_k(i)\) la rotazione di un angolo \(2\pi k / 3\) intorno a \(P_i\), si ha \(\omega_{1}(i), \omega_{2}(i) \in \mathcal{S}\). Perciò anche \(\omega_{1}(i) \cdot \omega_{2}(i) = \Pi_{j} \in \mathcal{S}\), dove \(\Pi_j\) è la traslazione che manda \(i\) in \(j\). Infine, detto \(P_k\) un punto tale che \(P_i P_j P_k\) è un triangolo equilatero, si ha \(\mathcal{S} \ni \Pi_{k} = \Pi_{i} \cdot \omega_{1}(i) \cdot \Pi_{i} \), dove \(\Pi_{k}\) è la traslazione che manda \(i\) in \(k\). Perciò il campo fondamentale di \(\mathcal{G}\) è contenuto in \(P_i P_j P_k\). D'altronde non ci può essere nessun altro punto in \(P_i P_j P_k\), perchè avevamo supposto che \(P_j\) fosse il punto a distanza minima da \(P_i\). Perciò il campo fondamentale di \(\mathcal{G}\) è un triangolo equilatero.
Siano \(i_1, i_2, i_3\) i vertici del triangolo che ha come centro \(P_i\), e similmente definiamo \(j_1, j_2, j_3, k_1, k_2, k_3\), in modo che \(i_1, j_1, k_1\) formino un triangolo equilatero (così come \(i_2, j_2, k_2\) e \(i_3,j_3,k_3\) ). Sia \(T\) il triangolo equilatero \(i_1 j_2 k_3\), e consideriamo la sua parte non bianca: essa può contenere un solo triangolo nero, perchè se ne contenesse 2 confinerebbero per un lato (per l'ipotesi che coprono il piano) ma questo contraddice l'ipotesi che triangoli che hanno un lato in comune siano di colori diversi. Ma allora \(T\) è formato da quattro triangoli di cui 3 equilateri \(\rightarrow\) il quarto triangolo (quello nero) è equilatero e congruente a quelli bianchi.
Perciò la tassellazione è formata da triangoli equilateri alternativamente bianchi e neri, dunque la probabilità cercata è \(1/2\).
P.S.: hai detto che si risolve in due passaggi. Hai una dimostrazione più semplice? xD
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe
Re: Probabilità su un pavimento
mmm... sei sicuro? Prova a fare un disegno..!Gottinger95 ha scritto:Perciò la tassellazione è formata da triangoli equilateri alternativamente bianchi e neri
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
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Re: Probabilità su un pavimento
Forse mi perdo qualcosa, ma se la tassellazione a triangoli equilateri va bene, allora va bene anche una che alterna esagoni e triangoli equilateri di lato uguale...
-
Gottinger95
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Re: Probabilità su un pavimento
@EvaristeG: no, triangoli confinanti devono essere di colori diverai!
Mmm, la probabilità è forse 5/8? Se sí, posto come si aggiusta il finale
Mmm, la probabilità è forse 5/8? Se sí, posto come si aggiusta il finale
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe
Re: Probabilità su un pavimento
Non avevo letto "triangolari" ... avevo capito che solo le piastrelle bianche fossero obbligate ad essere triangoli...Gottinger95 ha scritto:@EvaristeG: no, triangoli confinanti devono essere di colori diverai!
Re: Probabilità su un pavimento
Beh, se le piastrelle nere sono triangoli equilateri viene 1/2, come hai detto anche tu, altrimenti...Gottinger95 ha scritto:Mmm, la probabilità è forse 5/8? Se sí, posto come si aggiusta il finale
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
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