Dato un primo dispari $p$, e un intero $x$ non divisibile per $p$, mostrare che $p$ divide
\[ \left(\prod_{k=1}^{p-1}(k^{2}+x)\right)- 2\left(1+(-1)^\frac{p+1}{2}\left(\frac{x}{p}\right)\right) \]
Nota. Qui $\left(\frac{x}{p}\right)$ è il simbolo di Legendre
$p$ divide (animale)
$p$ divide (animale)
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Re: $p$ divide (animale)
Ricordiamo la regola di Eulero $x^{(p-1)/2}=(\frac{x}{p})$. Da questa regola si deduce subito(anche se si può dimostrare con motivazioni più generali, che implicano anche la regola di Eulero) che $\prod_{(\frac{r}{p})=1}(x-r)=x^{(p-1)/2}-1$, pertanto se $(\frac{-1}{p})=1$ otteniamo $\prod_{(\frac{r}{p})=1}(x-r)=\prod_{(\frac{r}{p})=1}(x+r)=x^{(p-1)/2}-1$, altrimenti $\prod_{(\frac{r}{p})=1}(x+r)=\prod_{(\frac{r}{p})=-1}(x-r)=(x^{(p-1)}-1)/x^{(p-1)/2}-1=x^{(p-1)/2}+1$.
In ultima istanza $\prod_{(\frac{r}{p})=1}(x+r)=x^{(p-1)/2}+(-1)^{(p+1)/2}$.
D'altronde è chiaro che $\prod_{k=1}^{p-1}(x+k^2)=(\prod_{(\frac{r}{p})=1}(x+r))^2=(x^{(p-1)/2}+(-1)^{(p+1)/2})^2=x^{p-1}+2x^{(p-1)/2}(-1)^{(p+1)/2}+1$ essendo x non 0 modulo p, otteniamo che l'ultima espressione è (per Fermat ed Eulero) pari a $2+2(\frac{x}{p})(-1)^{(p+1)/2}=2(1+(\frac{x}{p})(-1)^{(p+1)/2})$.
In ultima istanza $\prod_{(\frac{r}{p})=1}(x+r)=x^{(p-1)/2}+(-1)^{(p+1)/2}$.
D'altronde è chiaro che $\prod_{k=1}^{p-1}(x+k^2)=(\prod_{(\frac{r}{p})=1}(x+r))^2=(x^{(p-1)/2}+(-1)^{(p+1)/2})^2=x^{p-1}+2x^{(p-1)/2}(-1)^{(p+1)/2}+1$ essendo x non 0 modulo p, otteniamo che l'ultima espressione è (per Fermat ed Eulero) pari a $2+2(\frac{x}{p})(-1)^{(p+1)/2}=2(1+(\frac{x}{p})(-1)^{(p+1)/2})$.