158. Una somma simmetrica

[jordan]

Own. Sia dato un primo $p\ge 5$. Mostrare che $p$ divide $\sum_{1\le i,j,k\le p-1}{ij^2k^3}$, dove la somma è estesa a tutte le terne dove $i,j,k$ sono distinti.

Ps. Qualcuno è a conoscenza di un risultato simile che non faccia uso di "conteggi manuali"?

[<enigma>]

Se può essere utile a qualcuno, riporto dalla conversazione con jordan il mio conteggio "manuale"-che può essere esteso per calcolare ricorsivamente qualsiasi somma di quel tipo, ma non in forma ragionevolmente chiusa
Chiamiamo $S(a_1, a_2, \dots)=\sum i^{a_1} j^{a_2} \dots$ con le stesse restrizioni di prima. Osservazione: $\left ( \sum i^{a_1} \right ) \left ( \sum j^{a_2} \right ) =\sum i^{a_1} j^{a_2}$ ma *senza la restrizione* che siano distinti. Dunque, per quanto riguarda il testo, abbiamo per inclusione-esclusione (a meno di errori di conto) $S(a,b,c)=S(a)S(b)S(c)-S(a)S(b+c)-S(b)S(c+a)-S(c)S(a+b)+4S(a+b+c)$-e a questo punto gli $S(n)$ non sono altro che somme dei residui $n$-esimi.

[<enigma>]

Visto che non mi sono accorto che era parte della staffetta lascio il testimone alla prima soluzione alternativa

[Simo_the_wolf]

Old tricks (almost) never fail: preso $a$ un intero coprimo con $p$ e $i,j,k$ dei residui distinti, allora $ai,aj,ak$ sono ancora dei residui distinti (nonnulli) e quindi si ha che $S(a_1,a_2,a_3, \ldots,a_n) =S \equiv a^{a_1+ \ldots +a_n }S \pmod{p}$ e quindi se $a_1+a_2 + \ldots + a_n $ non è un multiplo di $p-1$ si ha che la somma fa $0$, altrimenti bisogna indagare ulteriormente... (quindi mi mancherebbe, per questo problema, il caso $p=7$ (che in effeti, mi pare anche dal post di enigma, non funziona...). Spero di non esser stato troppo criptico.

Altro approccio, la tua somma è uguale a $\sum_{i,j,k} (i-k)^{p-1}(j-k)^{p-1}(k-i)^{p-1} i j^2 k^3$, dove però ora non ho più vincoli sulla somma; chi finisce da qui?

[jordan]

La mia idea invece era di costruire una bigezione tra le soluzioni della congruenza $ij^2k^3=a \pmod p$ e $ij^2k^3=b \pmod p$ con $p\nmid ab$, che si generalizza facilmente nel caso (almeno) uno degli esponenti sia coprimo con $p-1$.. qualcuno conferma?