Disuguaglianza su radice complessa

[jordan]

Sia dato un polinomio $\sum_{0\le i\le n}{a_ix^i}$ a coefficienti reali positivi tale che $a_0\le a_1\le \ldots \le a_{n-1} \le a_n=1$. Mostrare che se $z$ è una radice complessa tale che $|z|\ge 1$ allora $z^{n+1}=1$.

[patatone]

Sappiamo che $\displaystyle\sum_{i=0}^n a_iz^i=0$. Moltiplichiamo per z-1 e riarrangiamo in questo modo:
$\displaystyle z^{n+1}=a_0+\sum_{i=1}^n (a_i-a_{i-1})z^i$
Passando alla norma e usando la disuguaglianza triangolare e il fatto che se a>b allora $|z^a|=|z|^a\ge |z|^b=|z^b|$, abbiamo che
$\displaystyle |z^{n+1}|=|a_0+\sum_{i=1}^n (a_i-a_{i-1})z^i|\le a_0+\sum_{i=1}^n (a_i-a_{i-1})|z^i|\le a_0|z^n|+\sum_{i=1}^n (a_i-a_{i-1})|z^n|=|z^n|$
Però abbiamo anche per il fatto già detto sopra che $|z^{n+1}|\ge |z^n|$, quindi devono valere le uguaglianze nella catena scritta sopra.
In particolare devono valere:
-$|z|=1$
-per la disuguaglianza triangolare, poichè $a_0$ è reale positivo deve essere per ogni i $(a_i-a_{i-1})z^i$ reale $\ge 0$.

Ora viene la parte più "lasciata all'immaginazione del lettore" perchè lunga da scrivere in dettaglio.
Sia k il minimo intero positivo tale che $z^k=1$, allora per tutti gli i non multipli di k deve necessariamente essere $a_i=a_{i-1}$.
Poniamo $n+1=km+r$ e supponiamo $r>0$.
A questo punto possiamo scrivere il polinomio in z come $\displaystyle a_{k0}(1+z...+z^{k-1})+a_{k1}z^k(1+z...+z^{k-1})...+a_{k(m-1)}z^{k(m-1)}(1+z...+z^{k-1})+a_{km}z^{km}(1+z...+z^{r-1})=$
$\displaystyle a_{km}\frac{z^r-1}{z-1}\neq 0$ perchè $r<k$ e k era il minimo intero positivo j tale che $z^j=1$.

Quindi $k|n+1$ e di conseguenza $z^{n+1}=1$.
Spero di non aver dimenticato nulla!

[totissimus]

La mia soluzione è questa:
$z^{n+1}-a_{0}=\left(1-a_{n-1}\right)z^{n}+\left(a_{n-1}-a_{n-2}\right)z^{n-1}\ldots\left(a_{1}-a_{0}\right)z$
$\left|z^{n+1}-a_{0}\right|\leq\left(1-a_{n-1}\right)\left|z\right|^{n}+\left(a_{n-1}-a_{n-2}\right)\left|z\right|^{n-1}+\ldots\left(a_{1}-a_{0}\right)\left|z\right|$
$\leq\left(1-a_{n-1}+a_{n-1}-a_{n-2}+\ldots+a_{1}-a_{0}\right)\left|z\right|^{n}=\left(1-a_{0}\right)\left|z\right|^{n}$


$\left|z\right|^{n+1}-a_{0}\leq\left|z^{n+1}-a_{0}\right|\leq\left(1-a_{0}\right)\left|z\right|^{n}$

da cui si ricava

$0\leq\left|z\right|^{n}\left(\left|z\right|-1\right)\leq a_{0}\left(1-\left|z\right|^{n}\right)\leq 0$

e quindi $\left|z\right|=1$

La disuguaglianza iniziale diventa
$\left|z^{n+1}-a_{0}\right|\leq1-a_{0}$

Ma abbiamo anche
$1-a_{0}=\left|z\right|^{n+1}-a_{0}\leq\left|z^{n+1}-a_{0}\right|\leq1-a_{0}$

e quindi
$\left|z^{n+1}-a_{0}\right|=1-a_{0}$

Posto $z^{n+1}=x+iy$ con $x^2+y^2=1$ la precedente disuguaglianza diventa
$(x-a_0)^2+y^2=(1+a_0)^2$

da cui facilmente si ricava $x=1, y=0$ e quindi $z^{n+1}=1$

[fph]

Sia k il minimo intero positivo tale che $z^k=1$

Perché ne esiste uno?

[patatone]

Sia k il minimo intero positivo tale che $z^k=1$

Perché ne esiste uno?

beh supponendo che non esista avremmo che necessariamente $a_i=1$ per ogni i, e questo porterebbe banalmente a $z^{n+1}=1$, assurdo.

[fph]

beh supponendo che non esista avremmo che necessariamente $a_i=1$ per ogni i, e questo porterebbe banalmente a $z^{n+1}=1$, assurdo.

Uhm... sarà la stanchezza ma non ti seguo.

[patatone]

spero di non essermi sbagliato, comunque affinchè valga l'uguaglianza nella disuguaglianza triangolare i vettori devono essere per cosi dire "allineati", e dato che uno di essi ($a_0$) è un reale positivo, tutti gli altri devono essere reali positivi o nulli. Dato che $|z|=1$, se $z^i$ è reale positivo allora è necessariamente 1.
Se al contrario $z^i$ non è reale positivo l'unica possibilità è che sia $a_i-a_{i-1}=0$. Se non esistesse un tale k avremmo quindi $a_i=a_{i-1}$ per ogni i, cioè gli $a_i$ sarebbero tutti 1

[fph]

Ok, ora mi torna -- era una mancanza di "immaginazione del lettore". :p