$xy+1 \mid x^2+y^2+2$
$xy+1 \mid x^2+y^2+2$
Trovare tutte le coppie di interi positivi $(x,y)$ tali che $xy+1$ divide $x^2+y^2+2$.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: $xy+1 \mid x^2+y^2+2$
Non so quanto io stia ragionando bene ed il mio ragionamento si blocca ad un certo punto però posto almeno così so se la strada è quella e chiedo un hintino:
$ xy+1 \mid x^2+y^2+2 \Rightarrow xy+1 \mid (x-y)^2+2(xy+1) \Rightarrow xy+1 \mid (x-y)^2 $ . Ora,dato che detto p primo $ x^2 \equiv 0 \pmod p \Rightarrow x \equiv 0 \pmod p \Rightarrow xy+1 \equiv 1 \pmod p $ ,
$ xy+1 \mid (x-y)^2 \Rightarrow xy+1 \mid x^2(x-y)^2 \Rightarrow xy+1 \mid [(x^2+1)-(xy+1)]^2 \Rightarrow xy+1 \mid (x^2+1)^2 $ ,dato che il termine a destra è il quadrato di un binomio nel cui sviluppo il termine $ xy+1 $ non compare solo nel quadrato del primo termine. Da questo deduco che sono soluzioni tutte le coppie del tipo $ (x,x) $ e $ (x,x^3+2x) $ e poi qui mi fermo..
$ xy+1 \mid x^2+y^2+2 \Rightarrow xy+1 \mid (x-y)^2+2(xy+1) \Rightarrow xy+1 \mid (x-y)^2 $ . Ora,dato che detto p primo $ x^2 \equiv 0 \pmod p \Rightarrow x \equiv 0 \pmod p \Rightarrow xy+1 \equiv 1 \pmod p $ ,
$ xy+1 \mid (x-y)^2 \Rightarrow xy+1 \mid x^2(x-y)^2 \Rightarrow xy+1 \mid [(x^2+1)-(xy+1)]^2 \Rightarrow xy+1 \mid (x^2+1)^2 $ ,dato che il termine a destra è il quadrato di un binomio nel cui sviluppo il termine $ xy+1 $ non compare solo nel quadrato del primo termine. Da questo deduco che sono soluzioni tutte le coppie del tipo $ (x,x) $ e $ (x,x^3+2x) $ e poi qui mi fermo..
Re: $xy+1 \mid x^2+y^2+2$
Fin qui, corretto 
La domanda ora è: esistono altre soluzioni oltre quelle sopra?
La domanda ora è: esistono altre soluzioni oltre quelle sopra?The only goal of science is the honor of the human spirit.