Altre radici dell'unità

[darkcrystal]

Mi è venuto in mente che questo problema classico (i.e. un teorema di Kronecker) che non credo sia mai passato sul forum. E' difficile, per cui se nessuno ha idee metterò degli aiutini in seguito...
Sia $p(x)$ un polinomio monico a coefficienti interi. Supponiamo che tutte le radici di $p(x)$ in $\mathbb{C}$ abbiano modulo 1: dimostrare che allora sono tutte radici dell'unità.

[<enigma>]

E dopo averlo risolto, pensate a questo: è vero che tutti i numeri algebrici di modulo 1 sono radici dell'unità?

[Gottinger95]

Domanda che boh, potrebbe non entrarci nulla con la soluzione:

Testo nascosto:

I complessi \(z = \cos \alpha + i \sin \alpha\) che non sono radici dell'unità sono tutti e soli quelli tali che \(\alpha / 2 \pi \not \in \mathbb{Q}\) ?

[darkcrystal]

Ti rispondo in chiaro, tanto è sostanzialmente una definizione.

Domanda che boh, potrebbe non entrarci nulla con la soluzione:
I complessi \(z = \cos \alpha + i \sin \alpha\) che non sono radici dell'unità sono tutti e soli quelli tali che \(\alpha / 2 \pi \not \in \mathbb{Q}\) ?

Si. Ogni complesso di norma 1 si scrive in quella forma, che mi viene più comodo pensare come $z=e^{i\alpha}$. Scriviamo $\alpha=2\pi t$ con $t \in \mathbb{R}$. Allora $z^n=e^{2\pi i n t}=\cos(2\pi n t)+i \sin(2\pi n t)$ è uguale ad uno per un qualche $n \neq 0$ se e solo se - per quel valore di $n$ - $\cos(2\pi n t)=1$, cioè $2\pi n t$ è un multiplo intero di $2\pi$, cioè se $nt$ è intero. Siccome $n$ è diverso da zero, questo implica che $t$ è razionale. Viceversa, se $t=m/n$, allora elevare $e^{2\pi i \frac{m}{n}}$ alla $n$ dà 1.

Già che ci sono elaboro un po' sulla domanda di Enigma:
1) è vero che tutti gli algebrici (nel senso di 'numeri complessi che sono radici di polinomi a coefficienti razionali') di modulo 1 sono radici dell'unità?
2) (più difficile) è vero che tutti gli interi algebrici (nel senso di 'numeri complessi che sono radici di polinomi monici a coefficienti interi') di modulo 1 sono radici dell'unità?
3) (probabilmente molto difficile, senza un po' di teoria di Galois) Mostrare che tutti i numeri complessi che si scrivono come somme (finite) di radici dell'unità a coefficienti interi e che hanno modulo 1 sono a loro volta radici dell'unità.

[darkcrystal]

Direi che sia giunta l'ora dell'hint:

Testo nascosto:

Scriviamo $p(x)=\prod_{i=1}^n (x-\alpha_i)$ e per ogni $k$ consideriamo il polinomio $p_k(x)=\prod_{i=1}^n (x-\alpha_i^k)$. Cosa sappiamo dire di $p_k(x)$? Dove stanno i suoi coefficienti? E quanto possono essere grandi?

[Gottinger95]

Davvero davvero bello, anche se ammetto che senza l'hint...mi ci sarebbero voluti forse giorni e giorni

Sia \(\displaystyle p(x) = \prod_{i=1}^n{(x-\alpha_i) }\), e definiamo \(\displaystyle p_m(x) = \prod_{i=1}^n{(x-\alpha_i^m)}\). Inoltre sia \(A_n = \{1, \ldots, n\}\).

1. Integrità (morale) di \(p_m(x)\). Dimostriamo che \(p(x) \in \mathbb{Z}[x] \rightarrow p_m(x) \in \mathbb{Z}[x] \).
Sia \(\displaystyle \sigma_{k,m} = \sum_{i_1, \ldots, i_k \in A_n} { (\alpha_{i_1} \cdot \ldots \cdot \alpha_{i_k} )^m}\), ossia il coefficiente di \(x^{n-k}\) in \(p_m(x)\). Visto che ogni polinomio simmetrico è esprimibile in funzione dei polinomi simmetrici elementari (senza divisione), \(\sigma_{k,m}\) è esprimibile in funzione di \(\sigma_{1,m}, \ldots, \sigma_{n,m}\), dunque intero.

Limiti di \(p_m(x)\). Sfruttiamo il fatto che \(|\alpha_i|=1\) per ottenere un bound sui coefficienti di \(p_m(x)\):
\(\displaystyle |\sigma_{k,m} | = | \sum_{i_1, \ldots, i_k \in A_n} {(\alpha_{i_1} \cdot \ldots \cdot \alpha_{i_k} )^m} | \le \sum_{i_1, \ldots, i_k \in A_n} { |\alpha_{i_1} \cdot \ldots \cdot \alpha_{i_k}|^m } = \binom{n}{k}\).

Visto che i coefficienti di \(p_m(x)\) al variare di \( m \in \mathbb{N}\) possono assumere solo un numero finito di valori, per pigeonhole avremo - per certi \(j,l\) - che \(p_j(x) = p_l(x)\). Dunque l'insieme \(\{\alpha_i^j\}\) è uguale all'insieme \(\{\alpha_i^l\}\). Allora deve valere, per una qualche permutazione \(\rho\) di \(A_n\), che \(\alpha^l_{\rho(i)} = \alpha_i^j\), ossia \(\alpha_{\rho(i)} = \alpha_i^{j/l} \). Questo in pratica significa che applicare una permutazione all'indice "costa" un elevamento a potenza di \( (j/l)\) al numero.

Sia \(s_i\) un numero tale che \(\rho(i)^{s_i}=i\). Allora, applicando il risultato appena trovato:
\( \alpha_i = \alpha_{\rho(i)^{s_i} } = \alpha_i^{(j/l)^{s_i} }\)
da cui
\( \alpha_i^{ (j/l)^{s_i}-1} = 1\)
che significa proprio, per la definizione che ne abbiamo dato, che \(\alpha_i\) è una radice dell'unità

Spero sia corretta, bella!

[darkcrystal]

Una nota di stile, scrivere $\displaystyle \sum_{i_1, \ldots, i_k \in A_n}$ di solito vuol dire che sommi su tutti i valori dei parametri, non necessariamente distinti. Ma questo non ha troppa importanza.
Inoltre si scrive pigeonhole !

La conclusione non funziona troppo (anche se hai sostanzialmente finito): non puoi essere sicuro che la permutazione che applichi ad ogni passo sia la stessa, ma visto che hai trovato infinite ripetizioni hai talmente tanto spazio di manovra per il pigeonhole che dovresti potertela cavare.

[Gottinger95]

Vero vero! E senti, tu di solito come lo scrivi sotto la sommatoria? Io uso solo notazioni orribili


Mmm, per il fatto della permutazione in realtà mi sembrava convincente. I due insiemi \(\{\alpha_i^j\}\) e \(\{\alpha_i^k\}\) sono uguali, perciò anche gli elementi sono uguali a meno di una precisa permutazione, \(\rho\). Perchè dici che non posso essere sicuro che la permutazione sia la stessa? La permutazione è una sola!

Faccio un esempio, chè non mi riesco a spiegare:
Supponiamo \(j=16, l=7, n=3\), e \(\rho = (123)\), i.e.:
\(\alpha_1^{16} = \alpha_2^7\)
\(\alpha_2^{16} = \alpha_3^7\)
\(\alpha_3^{16} = \alpha_1^7\)
da cui, per esempio:
\(\left (\alpha_1^{16/7} \right )^{(16/7)^2} = \left (\alpha_2^{16/7} \right)^{16/7} = \alpha_3^{16/7} = \alpha_1\)
ossia \(\alpha_1^{(16/7)^3-1} = 1\).

[darkcrystal]

Ah d'accordo, funziona, non avevo capito io. Scusa! Per la sommatorie è sempre complicato, puoi scrivere $\displaystyle \sum_{I \subseteq A_n, |I|=k}$ (dove si intende che gli elementi di $I$ si chiamano $i_1, \ldots, i_k$) oppure specificare $\displaystyle \sum_{k_1, \ldots, k_n \in A_n \mbox{ distinti}}$.

Comunque, ottimo! Ora resta l'altra questione, che si può dire di un numero/intero algebrico di modulo 1?

[Gottinger95]

Comunque, piccola cosa: la dimostrazione mi pare che valga anche assumendo che il modulo delle radici sia \(\le 1\) invece che precisamente \(=1\).
O sbaglio?

[EvaristeG]

Non è sorprendente: intanto, se $p(x)$ rispetta le ipotesi del teorema e $p(0)=0$, allora anche $p(x)/x$ rispetta le ipotesi, dunque puoi supporre $p(0)\neq 0$, a questo punto sai che il prodotto delle radici di $p$ è intero e in particolare ha modulo intero; ma allora, se tutte le radici di $p$ hanno modulo $\leq 1$, in realtà deve succedere che tutte le radici abbiano modulo $1$, in quanto altrimenti avresti un po' di radici di modulo $<1$ e un po' di radici di modulo $1$ ed il prodotto di tutti i moduli non potrebbe essere intero.

[Gottinger95]

Che saggezza, è vero Invece per la questione degli algebrici, anche solo il punto 1, non riesco a riciclare la dimostrazione precedente, perchè perdo o i limiti di modulo o i vincoli sulla "distribuzione" (cioè i coefficienti sono interi, o con denominatore \(\le\) qualcosa). Temo si debba escogitare qualcosa di più furbo!

[Gottinger95]

"Ci sono cose che non sono radici dell'unità; per il resto c'è mastercard."

Dimostriamo che esistono dei complessi di modulo 1 radici di polinomi in \(\mathbb{Q}[x]\) che non sono radici dell'unità.

Fatto 1. Se \(z \in \mathbb{C}\) ha modulo e parte reale razionali, allora è algebrico.
Consideriamo \(p(x) = (x-z)(x-\bar{z})\). Visto che
\(\displaystyle p(x) = x^2 -2 \mathcal{R}(z) x + |z|^2\)
allora \(p(x) \in \mathbb{Q}[x]\).

Fatto 2. Se \(z \in \mathbb{C}\) di modulo 1 ha parte reale razionale con denominatore non potenza di 2, allora non è radice dell'unità.

Scrivendo \(z= \cos \alpha + i \sin \alpha\), abbiamo che \(z^n = 1\) per qualche \(n \in \mathbb{N}_0\) se e solo se \(\cos( n \alpha )= 1\).
Sia \(T_n(x)\) l'\(n\)-esimo polinomio di Chebyshev e \(\cos \alpha = p/q \in \mathbb{Q}\). Speriamo perciò che per qualche \(n\) si abbia \(T_n(p/q) = 1\). Dimostriamo che \([x^n]T_n(x)=2^{n-1}\). Sfruttando la ricorrenza sui polinomi di chebyshev, abbiamo:

\(\displaystyle [x^n]T_n(x) = [x^n] 2x T_{n-1}(x) - [x^n] T_{n-2}(x) = 2[x^{n-1}] T_{n-1}(x)\)

perciò il coefficiente di testa viene moltiplicato ad ogni passo per 2. Inoltre \([x^1]T_1(x) = 1\), che completa la dimostrazione per induzione. Allora, per il teorema delle radici razionali di un polinomio, se \(T_n(p/q)-1 = 0\), allora \(q \mid [x^n]T_n(x)\), ossia \(q\) è una potenza di 2. Ma per ipotesi \(q\) non è una potenza di 2, perciò \(z^n=1\) per nessun \(n \in \mathbb{N}_0\).

Unendo i due fatti, tutti i complessi di modulo 1 che hanno parte reale razionale con denominatore non potenza di 2 sono algebrici ma non radici dell'unità.

[darkcrystal]

Ottimo! Ora però non posso resistere...

Fatto 3 Se $z \in \mathbb{C}$ è una radice dell'unità ed ha parte reale razionale $p/q$, allora $2p/q$ è un intero.

$z$ è un intero algebrico, $z^{-1}$ pure (entrambi sono radici di $x^n-1$ per un $n$ opportuno). Ora il teorema non del tutto ovvio dice che la somma di interi algebrici è un intero algebrico, quindi $z+z^{-1}=z+\bar{z}=2 \Re(z)=2p/q$ è un intero algebrico che è anche un razionale, cioè è un intero vero (esercizio banale).

[Gottinger95]

Bello! Ma questo significa che solo le radici seste, quarte e (vabè) \(\pm1\) hanno parte reale razionale?

Another question, sulla terza domanda: adesso mi ci metto, ma penso vada dimostrato che

Testo nascosto:

Detto \(t= \sum_{i=1}^n{ \alpha_i z_i}\) per certi coefficienti \(\alpha_i \in \mathbb{Z}\) e per certe radici dell'unità \(z_i\), consideriamo tutte le \(2^n\) somme con tutti i possibili cambi di segni, e le chiamiamo \(s_1, \ldots, s_{2^n}\). Dimostriamo poi che il polinomio
\(p(x) = \prod_{i=1}^{2^n}{ (x-s_i) }\)
è a coefficienti interi. Visto che gli interi algebrici di modulo 1 sono radici dell'unità (che è il secondo punto ancora irrisolto, ma penso sia così), allora \(t\) è una radice dell'unità.
EDIT: cavolata. Volevo riciclare la "norma" in \(\mathbb{Z}[\sqrt{p_1}, \ldots, \sqrt{p_n}]\), ma la cosa da prendere è un altra! Quello che ho scritto non funziona nemmento per \(n=1\)

Oppure, per il teorema non del tutto ovvio, le radici dell'unità sono interi algebrici, donc una combinazione lineare a coefficienti interi di radici dell'unità è anch'esso intero algebrico. Ancora, gli interi algebrici di modulo 1 sono radici dell'unità (e forse questa è una stronzata), perciò anche "quella somma là" lo è.