I fattoriali ti mettono le aali!

[Gottinger95]

DImostrare che, fissato \(m \in \mathbb{N}_0\) non quadrato, l'equazione
\(\displaystyle n! + m = k^2\)
ha un numero finito di soluzioni al variare di \(n,k \in \mathbb{N}\).

Bonus: e se invece \(m\) è un quadrato?

[Troleito br00tal]

Non è una congettura se $m$ è quadrato?

[Gottinger95]

Davvero? Ah, io l'ho messo come bonus proprio perchè volevo solo parlarne, non avendo trovato una strada umana...adesso si spiega tutto! Con l'occasione ammetto anche che la mia dimostrazione è bruttissima, e sono convinto che ce ne sia una più semplice

[Troleito br00tal]

Non lo so! So che se $m=1$ allora è una congettura, ma non credo (e forse mi sbaglio), sia stato risolto per $m$ quadrato... dunno!

[Gottinger95]

Allora? Nessun tentativo?

[Gottinger95]

Hint:

Testo nascosto:

1. Se \(m \mid n!\) e analizzo modulo \(m\), in che si traduce "l'equazione ha infinite soluzioni"?
2. Adesso trovare qualcosa che mi contraddice quello sopra.