N3 WC 2014

[Triarii]

Determinare tutte le coppie $(p,n)$, dove $p$ è un numero primo e $n$ un intero positivo, tali che
$$p^5+4p+1=n^2$$

Testo nascosto:

Mi ricordava un Cesenatico 2011 se fattorizzato in una certa maniera, solo che poi non riuscivo a trovare relazioni interessanti. Spero che qualcuno possa illuminarmi

[Sir Yussen]

Porta l'$1$ a destra, e scomponi!

[Gottinger95]

Io ho fatto così:

Testo nascosto:

\(p=3\) va bene. Se \(p \neq 3\), modulo 3 hai che \(3 \mid n\) (perchè 2 non è residuo quadratico).
Modulo 9, \(p^5+4p+1 \equiv 0 \pmod{9}\) non ha soluzioni per \(p \in \{1,2,4,5,7,8\}\).

[Triarii]

@Gottinger: Bella soluzione non avevo proprio pensatoad usare i moduli
@Sir Yussen: che andava scomposto c'ero arrivato solo che una volta scomposto mi ero fermato: avevo provato a fare considerazioni del tipo p divide uno dei 2 fattori, di conseguenza mi scrivo l'altro in funzione di p, solo che mi portavo ad un caso analogo...

[Sir Yussen]

Beh, innanzitutto analizza il caso $p=2$. Poi prendi i tre fattori del LHS, e verifica il loro $MCD$ a due a due, noterai che sono a due a due coprimi tra loro. Dunque ognuno di loro o va in $(n-1)$ o in $(n+1$. Inoltre vale anche $(n-1) < (n+1)$. Dunque non saranno poi tanti i modi di distribuire i fattori del LHS nel RHS, rispettando anche la differenza tra i due fattori del RHS. Fai qualche sistema a due equazioni in base ai vari casi, e vien quel che deve venire.

[jordan]

Sir Yussen, volendo lo scomponi come $p(p^2-2p+2)(p^2+2p+2)=(n+1)(n-1)$, e puoi dedurre che $n$ è pari e $16 \mid p-3$ oppure $16\mid p-7$; poi?

[jordan]

noterai che sono a due a due coprimi tra loro. Dunque ognuno di loro o va in $(n-1)$ o in $(n+1)$.

$21\cdot 55 = 33\cdot 35$.

[Drago96]

La mia prima soluzione era del tipo scrivo $ n+1=kp $, sostituisco, semplifico il semplificabile e vedo cos' è k modulo p, etc... ero arrivato a una cosa del tipo $ n $ scritto come polinomio di terzo grado in $ p $, e poi erano disuguaglianze (abbreviate da qualche derivata... )
Poi ho trovato quella con i moduli, anche se un po' diversa e più complicata di quella riportata qui sopra (tipo modulo 6 e 36)

Ve la mostrerei anche, ma ora sono con il tablet e sono abbastanza conti...

[Sir Yussen]

noterai che sono a due a due coprimi tra loro. Dunque ognuno di loro o va in $(n-1)$ o in $(n+1)$.

$21\cdot 55 = 33\cdot 35$.

wut?

[Drago96]

noterai che sono a due a due coprimi tra loro. Dunque ognuno di loro o va in $(n-1)$ o in $(n+1)$.

$21\cdot 55 = 33\cdot 35$.

wut?

Se hai $ ab=cd $ e $(a, b)=(c, d)=1 $, ciò non implica $ a\mid c $ o $a\mid d $