171. $4xyz-1 \mid x^a+y^b$
171. $4xyz-1 \mid x^a+y^b$
Trovare tutti gli interi positivi $x,y,z,a,b$ tali che $4xyz-1$ divide $x^a+y^b$.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: 171. $4xyz-1 \mid x^a+y^b$
Hint:
Testo nascosto:
The only goal of science is the honor of the human spirit.
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Gottinger95
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Re: 171. $4xyz-1 \mid x^a+y^b$
Minchia, è indicibile quanto mi abbia fatto sudare questo problema, speriamo che non abbia preso un abbaglio.
Sfruttando \( y \equiv \frac{1}{4xz} \pmod{ 4xyz-1} \), abbiamo:
\(\displaystyle x^a \equiv -y^b \equiv -\left ( \frac{1}{4xz} \right )^b \pmod{4xyz-1} \)
\( -x^{a+b} z^b \equiv (1/2)^{2b} \pmod{4xyz-1} \)
da cui
\(\displaystyle \left ( \frac{ -x^{a+b}z^b }{4xyz-1} \right ) = 1\)
Vogliamo dimostrare, usando le proprietà del Simbolo di Jacobi, che questo è impossibile. Qualche volta per leggibilità scriveremo \(M=4xyz-1\). Abbiamo (con riferimento alle formule in fondo):
\( \displaystyle \left ( \frac{ -x^{a+b}z^b }{4xyz-1} \right ) = \left ( \frac{-1 }{4xyz-1} \right ) \left ( \frac{x^{a+b}}{4xyz-1} \right ) \left ( \frac{z^b }{4xyz-1} \right ) = (-1)^{2xyz-1} \left ( \frac{x}{4xyz-1} \right )^{a+b} \left ( \frac{z }{4xyz-1} \right )^b = - \left ( \frac{x}{4xyz-1} \right )^{a+b} \left ( \frac{z }{4xyz-1} \right )^b\)
Sia \(x= 2^k x'\). Vale:
\( \displaystyle \left ( \frac{x}{4xyz-1} \right ) = \left ( \frac{2}{4xyz-1} \right )^k \left ( \frac{x'}{4xyz-1} \right ) = (-1)^{k(\frac{M^2-1}{4}) }\left ( \frac{x'}{4xyz-1} \right ) \)
D'altronde, se \(k=0\) allora l'esponente di -1 è 0, perciò viene +1; se \(k>0\) abbiamo:
\(\frac{(4xyz -1)^2-1}{4} = (4xyz)(4xyz-2) = \frac{8(...)}{4} \)
perciò nel complesso comunque +1. Tornando a noi, usiamo la 3 per determinare l'altro simbolo di Iacopo:
\( \displaystyle \left ( \frac{x'}{4xyz-1} \right ) = \left ( \frac{4xyz-1}{x'} \right ) (-1)^{ (2xyz-1)(\frac{x'-1}{2}) } = \left ( \frac{-1}{x'} \right ) (-1)^{ (\frac{x'-1}{2}) } = (-1)^{\frac{x'-1}{2} } (-1)^{\frac{x'-1}{2} } = +1\)
Con lo stesso identico ragionamento si ottiene \( \displaystyle \left ( \frac{z }{4xyz-1} \right ) = +1\). Dunque
\( 1= \displaystyle \left ( \frac{ -x^{a+b}z^b }{4xyz-1} \right ) = - \left ( \frac{x}{4xyz-1} \right )^{a+b} \left ( \frac{z }{4xyz-1} \right )^b = -1\)
assurdo.
Proprietà utilizzate del simbolo di Jacobi.
Per \(m,n\) dispari e \(a,b\) interi positivi vale:
1. \(\displaystyle \left ( \frac{ab}{n} \right ) = \left ( \frac{a}{n} \right ) \left ( \frac{b}{n} \right )\);
2. \( \displaystyle \left ( \frac{2}{n} \right ) = ( -1)^{\frac{n^2-1}{4} }\);
3.\( \displaystyle \left ( \frac{m}{n} \right ) = \left ( \frac{n}{m} \right ) (-1)^{ (\frac{m-1}{2}) ( \frac{n-1}{2}) } \);
4. \( \displaystyle a \equiv b \pmod{n} \ \ \Rightarrow \ \ \left ( \frac{a}{n} \right ) = \left ( \frac{b}{n} \right )\).
5. \( \displaystyle \left ( \frac{-1}{n} \right ) = (-1)^{(n-1)/2}\)
Sfruttando \( y \equiv \frac{1}{4xz} \pmod{ 4xyz-1} \), abbiamo:
\(\displaystyle x^a \equiv -y^b \equiv -\left ( \frac{1}{4xz} \right )^b \pmod{4xyz-1} \)
\( -x^{a+b} z^b \equiv (1/2)^{2b} \pmod{4xyz-1} \)
da cui
\(\displaystyle \left ( \frac{ -x^{a+b}z^b }{4xyz-1} \right ) = 1\)
Vogliamo dimostrare, usando le proprietà del Simbolo di Jacobi, che questo è impossibile. Qualche volta per leggibilità scriveremo \(M=4xyz-1\). Abbiamo (con riferimento alle formule in fondo):
\( \displaystyle \left ( \frac{ -x^{a+b}z^b }{4xyz-1} \right ) = \left ( \frac{-1 }{4xyz-1} \right ) \left ( \frac{x^{a+b}}{4xyz-1} \right ) \left ( \frac{z^b }{4xyz-1} \right ) = (-1)^{2xyz-1} \left ( \frac{x}{4xyz-1} \right )^{a+b} \left ( \frac{z }{4xyz-1} \right )^b = - \left ( \frac{x}{4xyz-1} \right )^{a+b} \left ( \frac{z }{4xyz-1} \right )^b\)
Sia \(x= 2^k x'\). Vale:
\( \displaystyle \left ( \frac{x}{4xyz-1} \right ) = \left ( \frac{2}{4xyz-1} \right )^k \left ( \frac{x'}{4xyz-1} \right ) = (-1)^{k(\frac{M^2-1}{4}) }\left ( \frac{x'}{4xyz-1} \right ) \)
D'altronde, se \(k=0\) allora l'esponente di -1 è 0, perciò viene +1; se \(k>0\) abbiamo:
\(\frac{(4xyz -1)^2-1}{4} = (4xyz)(4xyz-2) = \frac{8(...)}{4} \)
perciò nel complesso comunque +1. Tornando a noi, usiamo la 3 per determinare l'altro simbolo di Iacopo:
\( \displaystyle \left ( \frac{x'}{4xyz-1} \right ) = \left ( \frac{4xyz-1}{x'} \right ) (-1)^{ (2xyz-1)(\frac{x'-1}{2}) } = \left ( \frac{-1}{x'} \right ) (-1)^{ (\frac{x'-1}{2}) } = (-1)^{\frac{x'-1}{2} } (-1)^{\frac{x'-1}{2} } = +1\)
Con lo stesso identico ragionamento si ottiene \( \displaystyle \left ( \frac{z }{4xyz-1} \right ) = +1\). Dunque
\( 1= \displaystyle \left ( \frac{ -x^{a+b}z^b }{4xyz-1} \right ) = - \left ( \frac{x}{4xyz-1} \right )^{a+b} \left ( \frac{z }{4xyz-1} \right )^b = -1\)
assurdo.
Proprietà utilizzate del simbolo di Jacobi.
Per \(m,n\) dispari e \(a,b\) interi positivi vale:
1. \(\displaystyle \left ( \frac{ab}{n} \right ) = \left ( \frac{a}{n} \right ) \left ( \frac{b}{n} \right )\);
2. \( \displaystyle \left ( \frac{2}{n} \right ) = ( -1)^{\frac{n^2-1}{4} }\);
3.\( \displaystyle \left ( \frac{m}{n} \right ) = \left ( \frac{n}{m} \right ) (-1)^{ (\frac{m-1}{2}) ( \frac{n-1}{2}) } \);
4. \( \displaystyle a \equiv b \pmod{n} \ \ \Rightarrow \ \ \left ( \frac{a}{n} \right ) = \left ( \frac{b}{n} \right )\).
5. \( \displaystyle \left ( \frac{-1}{n} \right ) = (-1)^{(n-1)/2}\)
Ultima modifica di Gottinger95 il 31 dic 2013, 17:53, modificato 3 volte in totale.
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe
